[論文レビュー] Higher-order derivative of intersection local time for two independent fractional Brownian motions

Jingjun Guo, Yaozhong Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自己反復性を持つ2つの独立な$d$次元の分数 Browm運動（Hurstパラメータ$H_1$と$H_2$）の交差局所時刻の$k$階微分の存在および指数的可積分性に関する鋭い十分かつ必要十分条件を確立する。滑らか化されたDiracデルタ関数近似と、Fourier解析およびガンマ関数の評価を用いたモーメント推定により、$
\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$のとき、$k$階微分がすべての$p \in [1,\infty)$に対して$L^p$に存在することを証明する。また、指数的可積分性は指数$
\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$に対して成り立つ。この条件は、$k_i$が偶数である場合に、微分の存在に関して必要であることが示される。

ABSTRACT

In this article, we obtain sharp conditions for the existence of the high order derivatives ($k$-th order) of intersection local time $ \widehatα^{(k)}(0)$ of two independent d-dimensional fractional Brownian motions $B^{H_1}_t$ and $\widetilde{B}^{H_2}_s$ with Hurst parameters $H_1$ and $H_2$, respectively. We also study their exponential integrability.

研究の動機と目的

• 2つの独立な$d$次元の分数 Browm運動（Hurstパラメータ$H_1$, $H_2$）の交差局所時刻の$k$階微分が、すべての$p \in [1,\infty)$に対して$L^p$に存在するための正確な条件を特定すること。
• 交差局所時刻の$k$階微分の指数的可積分性を確立し、$\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$を満たす鋭い指数$\beta$を同定すること。
• 条件$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$が、$k_i$が偶数整数である場合に、微分の存在に関して十分であるだけでなく、必要であることを証明すること。
• 同じHurstパラメータを持つ自己交差局所時刻およびその微分に関する既存の結果を、異なるHurstパラメータを持つ2つの独立な分数 Browm運動の状況に拡張すること。

提案手法

• 交差局所時刻の$k$階微分は、滑らか化されたDiracデルタ関数の近似$f_\varepsilon^{(k)}(x)$を用いて定義され、$p^k e^{ipx} e^{-\varepsilon|p|^2/2}$を含むFourier積分として表現される。
• 近似列$\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)$が$\varepsilon \downarrow 0$のとき$L^2$収束することを示すことにより、$\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$の$L^2$内での存在が確立される。
• 差過程$B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s$の特性関数を用いて、$\mathbb{E}[|\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)|^n]$のモーメント推定が得られ、ガンマ関数とべき乗減衰を含む評価が導かれる。
• 差過程の特性関数を計算するために、恒等式$\mathbb{E}[e^{i\langle \xi, B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s \rangle}] = \exp\left(-\frac{1}{2}(t^{2H_1} + s^{2H_2})|\xi|^2\right)$を用いる。
• 積分$\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$において、変数変換と極座標を用いて収束性を分析し、$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$でなければ積分が発散することを示す。
• Stirlingの近似を用いてモーメント母関数を評価し、$\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$に対して、級数$\sum_n C^n (n!)^{\beta(2-2\kappa_1)-1}$の収束を示すことにより、指数的可積分性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの独立な$d$次元の分数 Browm運動（Hurstパラメータ$H_1$, $H_2$）の交差局所時刻の$k$階微分が、すべての$p \in [1,\infty)$に対して$L^p$に存在するための条件は何か？
• RQ2 指数的モーメント$\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)]$が有限であるための鋭い指数$\beta$は何か？
• RQ3 条件$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$は、$k_i$が偶数整数である場合に、$\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$の存在に関して必要であるか？
• RQ4 Hurstパラメータ$H_1$と$H_2$が異なる場合、微分の存在および可積分性はどのように$H_1$と$H_2$に依存するか？

主な発見

• 交差局所時刻の$k$階微分$\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$が、すべての$p \in [1,\infty)$に対して$L^p(\Omega)$に存在するための必要十分条件は、$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$であり、特定の条件下ではこれが十分かつ必要である。
• 指数的可積分性は指数$\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$に対して成り立ち、$\mathbb{E}[\exp(C_{d,k,T}|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$を満たす$C_{d,k,T} > 0$が存在し、強い尾部減衰を示す。
• $H_1 = H_2 = \frac{1}{2}$の場合、指数的可積分性の指数は$\beta = \frac{2}{d}$に簡略化され、既存の文献で知られている結果が回復される。
• $k = 0$の場合、条件は$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}d < 1$に簡略化され、$H_1 = H_2 = H$のときの既知の条件$Hd < 2$（Nualartら[8]による）を一般化する。
• 条件$\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$の必要性は、$k = (k_i, 0, \dots, 0)$で$k_i$が偶数である場合に、積分$\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$が条件を満たさない場合に発散することを分析することで証明される。
• 極座標と変数変換$t = u^{H_2/H_1}$を用いて積分を径方向形式に還元し、収束が$r$の指数が$-1$より大きいことに依存することを示し、これにより$\frac{H_2}{H_1} - (k+d)H_2 > -1$が得られ、これは主条件と同値である。