[論文レビュー] Higher order Lagrange-Poincaré and Hamilton-Poincaré reductions

François Gay–Balmaz, Darryl D. Holm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、k階の接束上でのラグランジアンに適した変分的およびハミルトニアン的還元枠組みを構築することで、幾何学的力学を高階の系へと拡張する。k階のラグランジュ＝ポアンカレおよびハミルトン＝ポアンカレ方程式を導出し、オストログラドスキー＝リー＝ポアソンおよびオストログラドスキー＝ハミルトン＝ポアンカレ系を導入し、関連するポアソン括弧を確立することで、対称性による還元を可能にし、画像登録やデータ同化への応用を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by the problem of longitudinal data assimilation, e.g., in the registration of a sequence of images, we develop the higher-order framework for Lagrangian and Hamiltonian reduction by symmetry in geometric mechanics. In particular, we obtain the reduced variational principles and the associated Poisson brackets. The special case of higher order Euler-Poincaré and Lie-Poisson reduction is also studied in detail.

研究の動機と目的

• ラグランジアンが最高k階の時間微分に依存する高階の力学系に対して、対称性によるラグランジュおよびハミルトニアン還元を一般化すること。
• 配置多様体 Q における自由かつ適切なリー群 G の作用を用いた還元により、商空間 $ T^{(k)}Q/G $ 上でのk階ラグランジュ＝ポアンカレ方程式を導出すること。
• Q = G の場合に、k階のオイラー＝ポアンカレ方程式を $ k\mathfrak{g} $ 上に定式化し、関連する制約付き変分原理を導出すること。
• オストログラドスキー運動量を用いたハミルトニアン双対を構築し、$ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上でのオストログラドスキー＝ハミルトン＝ポアンカレ方程式を導出すること。
• 曲率およびゲージ項を含む、一般化されたゲージ付きリー＝ポアソン括弧を高階系に拡張した、還元されたポアソン括弧構造を導出すること。

提案手法

• k階の接束 $ T^{(k)}Q $ を用いて、最高k階の微分に依存する系を記述する。これは、k階まで等価な曲線の同値類として定義される。
• 配置多様体 Q に作用するリー群 G の自由かつ適切な作用を用いて対称性還元を行い、商空間 $ T^{(k)}Q/G $ を得る。
• 制約付き変分原理を $ T^{(k)}Q/G $ 上に適用し、1階の場合の一般化としてk階ラグランジュ＝ポアンカレ方程式を導出する。
• オストログラドスキー運動量を、$ T^{(2k-1)}Q $ から $ T^*(T^{(k-1)}Q) $ へのラプラス変換により導入し、ハミルトニアン形式を可能にする。
• 標準的シンプレクティック形式のポアソン還元を用いて、$ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上でのオストログラドスキー＝ハミルトン＝ポアンカレ方程式を導出する。
• 還元されたポアソン括弧を、標準的括弧と、随伴作用および曲率2形式 $ \tilde{\mathcal{B}} $ を含む追加項の和として構成し、ゲージ付きリー＝ポアソン構造を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なラグランジュ＝ポアンカレおよびハミルトン＝ポアンカレ還元枠組みを、k階ラグランジアンを持つ高階力学系にどのように一般化できるか。
• RQ2 配置多様体がリー群 $ G $ である場合に、k階のオイラー＝ポアンカレ方程式の明示的形は何か。また、それらは変分構造とどのように関係するか。
• RQ3 オストログラドスキー運動量を用いた高階系のハミルトニアン形式はどのように構築され、その結果得られるオストログラドスキー＝ハミルトン＝ポアンカレ方程式は何か。
• RQ4 商空間 $ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上での還元されたポアソン括弧の構造は何か。また、それはどのようにゲージ付きリー＝ポアソン括弧を一般化するか。
• RQ5 この枠組みは、計算解剖学における縦断的データ同化や画像登録といった応用にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 本稿は、$ T^{(k)}Q/G $ 上でのk階ラグランジュ＝ポアンカレ方程式を導出し、古典的な1階方程式を高階微分へ一般化した。
• Q = G の場合、k階のオイラー＝ポアンカレ方程式が $ k\mathfrak{g} $ 上に得られ、リー群上の高階系の対称性による還元された変分的定式化を提供する。
• ハミルトニアン側はオストログラドスキー運動量を用いて定式化され、$ T^*(T^{(k-1)}Q)/G $ 上でのオストログラドスキー＝ハミルトン＝ポアンカレ方程式が得られ、これは標準的ハミルトン方程式を一般化する。
• 還元されたポアソン括弧は、標準的括弧と、随伴作用および曲率を含む追加項の和として導出され、ゲージ付きリー＝ポアソン構造を一般化する。
• 特殊な場合に、本形式は既知の系に還元される：k=1 のときには標準的ハミルトン＝ポアンカレ方程式に、Q = G のときにはオストログラドスキー＝リー＝ポアソン方程式に還元される。
• 本形式は一貫性があり、非ホロノミックおよびバコノミックな高階系に対する今後の研究の基盤を提供する。