[論文レビュー] Higher order log-monotonicity of combinatorial sequences

Bao-Xuan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3項線形漸化式 $ z_{n+1} = a_n z_n + b_n z_{n-1} $ を用いた新しい手法を導入し、組合せ的数列における高階対数単調性を分析する。導出数、モツキン数、ファイン数、フラネル数、ドーム数の比列が比対数凸であることを証明し、特定の条件下で導出数および一般化二項係数に対して無限対数単調性を確立した。これは、カタラン数および中央二項係数に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

A sequence $\{z_n\}_{n\geq0}$ is called ratio log-convex in the sense that the ratio sequence $\{\frac{z_{n+1}}{z_n}\}_{n\geq0}$ is log-convex. Based on a three-term recurrence for sequences, we develop techniques for dealing with the ratio log-convexity of ratio sequences. As applications, we prove that the ratio sequences of numbers, including the derangement numbers, the Motzkin numbers, the Fine numbers, Franel numbers and the Domb numbers are ratio log-convex, respectively. Finally, we not only prove that the sequence of derangement numbers is asymptotically infinitely log-monotonic, but also show some infinite log-monotonicity of some numbers related to the Gamma function, in particular, implying two results of Chen {\it et al.} on the infinite log-monotonicity of the Catalan numbers and the central binomial coefficients.

研究の動機と目的

• 組合せ的数列における高階対数単調性を分析するための体系的かつ包括的な手法を開発すること。
• 導出数、モツキン数、ファイン数、フラネル数、ドーム数といった主要な組合せ的数の比列の比対数凸性を調査すること。
• チェンらのカタラン数および中央二項係数に関する無限対数単調性の結果を、導出数および一般化二項係数へと拡張すること。
• 変数係数を伴う線形漸化式で定義される数列の対数単調性を検証する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 3項線形漸化式 $ z_{n+1} = a_n z_n + b_n z_{n-1} $ を用いて、比対数凸性を評価する再帰的基準を構築する。
• 比対数凸性を検証するための関数不等式条件を導入し、$ f(x) = [(a_{n+1}a_n + b_{n+1})x + a_{n+1}b_n](x - a_{n-1})x^6 - b_{n-1}(a_n x + b_n)^4 $ を含む。
• この基準を用いて、導出数、モツキン数、ファイン数、フラネル数、ドーム数の比列がすべて比対数凸であることを証明する。
• チェンらの結果を応用し、$ [\text{log} f(x)]^{(n)} $ が完全単調であるならば、数列 $ f(n) $ は無限対数単調である、という事実を用いる。
• 一般化二項係数 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $ に対して、条件 $ a \geq b + \overline{b} $ および $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ の下でこの基準を適用する。
• 多ディガマ関数の積分表現を用いて、ガンマ関数の対数の $ n $ 階微分を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導出数、モツキン数、ファイン数、フラネル数、ドーム数の比列は比対数凸か？
• RQ2 導出数の数列は無限対数単調か？
• RQ3 一般化二項係数の数列 $ \binom{n_0 + id}{k_0 + i\delta} $ が無限対数単調となる条件は何か？
• RQ4 カタラン数および中央二項係数の無限対数単調性の結果を、他の組合せ的数列へと拡張できるか？
• RQ5 線形漸化式で定義される数列の比列が自身で対数凸であるための条件は何か？

主な発見

• 導出数の比列は比対数凸であり、漸近的に無限対数単調である。
• モツキン数、ファイン数、フラネル数、ドーム数の比列はすべて比対数凸である。
• 導出数の数列が無限対数単調であることが証明され、カタラン数および中央二項係数に関する先行研究を拡張した。
• 一般化二項係数の数列 $ C_i = \frac{(n_0 + ia)!}{(k_0 + ib)! (\overline{k_0} + i\overline{b})!} $ は、$ a \geq b + \overline{b} $ および $ -1 \leq k_0 - (n_0+1)b/a \leq 0 $ の条件下で無限対数単調である。
• ファス・カタラン数 $ C_p(n) = \frac{1}{(p-1)n+1} \binom{pn}{n} $ は、すべての整数 $ p \geq 2 $ に対して無限対数単調である。