[論文レビュー] Zeta Functions and the Log-behavior of Combinatorial Sequences

William Y. C. Chen, Jeremy J. F. Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ゼータ関数とガンマ関数を用いて組合せ的数列の対数凸性を確立し、数列 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ および $\{\sqrt[n]{B_n}\}$ が厳密に増加することを証明する。リーマンゼータ関数、ベッセルゼータ関数、確率論におけるホルダーの不等式を用いた解析的手法により、サンの対数性に関する予想を検証する。

ABSTRACT

In this paper, we use the Riemann zeta function $ζ(x)$ and the Bessel zeta function $ζ_μ(x)$ to study the log-behavior of combinatorial sequences. We prove that $ζ(x)$ is log-convex for $x>1$. As a consequence, we deduce that the sequence $\{|B_{2n}|/(2n)!\}_{n\geq 1}$ is log-convex, where $B_n$ is the $n$-th Bernoulli number. We introduce the function $θ(x)=(2ζ(x)Γ(x+1))^{\frac{1}{x}}$, where $Γ(x)$ is the gamma function, and we show that $\log θ(x)$ is strictly increasing for $x\geq 6$. This confirms a conjecture of Sun stating that the sequence $\{\sqrt[n] {|B_{2n}}|\}_{n\geq 1}$ is strictly increasing. Amdeberhan, Moll and Vignat defined the numbers $a_n(μ)=2^{2n+1}(n+1)!(μ+1)_nζ_μ(2n)$ and conjectured that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for $μ=0$ and $μ=1$. By proving that $ζ_μ(x)$ is log-convex for $x>1$ and $μ>-1$, we show that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for any $μ>-1$. We introduce another function $θ_μ(x)$ involving $ζ_μ(x)$ and the gamma function $Γ(x)$ and we show that $\log θ_μ(x)$ is strictly increasing for $x>8e(μ+2)^2$. This implies that $\sqrt[n]{a_n(μ)} 4e(μ+2)^2$. Based on Dobinski's formula, we prove that $\sqrt[n]{B_n}

研究の動機と目的

• 組合せ的数列（例えばベルヌーイ数やベル数）の対数的性質を解析的ツールを用いて分析すること。
• $x>1$ および $\mu>-1$ に対して、それぞれ $\zeta(x)$ および $\zeta_\mu(x)$ の対数凸性を証明すること。
• サンの予想である $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ が厳密に増加することを確認すること。
• ベッセルゼータ関数およびベル数を含む一般化された数列への分析を拡張すること。
• 確率論におけるホルダーの不等式と $\sqrt[n]{B_n}$ の増加性との間の関係を確立すること。

提案手法

• $\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$ を定義し、$x \geq 6$ で $\log\theta(x)$ が厳密に増加することを証明することで、$\sqrt[n]{|B_{2n}|}$ と関連付ける。
• $\theta_\mu(x) = \left(\frac{2}{\mu!}\Gamma(\frac{x}{2})\Gamma(\left(\frac{x}{2}+\mu+1\right)\zeta_\mu(x)\right)^{1/x}$ を導入し、$\sqrt[n]{a_n(\mu)}$ を分析する。
• $\zeta(x)$ が $x > 1$ で対数凸性を示すことを証明し、これにより $\{|B_{2n}|/(2n)!\}$ および $\{|B_{2n}|\}$ の対数凸性が導かれる。
• ドゥビンスキーの公式を用いてベル数を $B_n = B(n)$ と表し、$B(x) = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^x}{k!}$ と定義し、$x > 1$ で $B(x)$ が対数凸性を示すことを示す。
• ポアソン分布に従う確率変数 $Z$ に対してホルダーの不等式を適用し、$0 < x < y$ で $E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$ が成り立つことを示す。これにより $B(x)^{1/x}$ が厳密に増加することが導かれる。
• $x \geq 1$ で $\log B(x)^{1/x}$ が厳密に増加することを確立し、$\{\sqrt[n]{B_n}\}$ の単調性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数列 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ は $n \geq 1$ で厳密に増加するか？
• RQ2 数列 $\{\sqrt[n]{a_n(\mu)}\}$ は $n > 4e(\mu+2)^2$ および $\mu > -1$ で厳密に増加するか？
• RQ3 サンの予想である $\{\sqrt[n]{B_n}\}$ は厳密に増加するか？
• RQ4 関数 $B(x)^{1/x}$ は $0 < x < y$ で $B(x)^{1/x} < B(y)^{1/y}$ を満たすか？
• RQ5 $\log B(x)^{1/x}$ は $x \geq 1$ で対数凹型か？

主な発見

• $x > 1$ でリーマンゼータ関数 $\zeta(x)$ が対数凸性を示す。これにより $\{|B_{2n}|/(2n)!\}$ および $\{|B_{2n}|\}$ の対数凸性が導かれる。
• $\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$ に対して $\log\theta(x)$ が $x \geq 6$ で厳密に増加することを示し、$\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ が厳密に増加することを確認する。
• $x > 1$ および $\mu > -1$ でベッセルゼータ関数 $\zeta_\mu(x)$ が対数凸性を示す。これにより、すべての $\mu > -1$ に対して $\{a_n(\mu)\}$ が対数凸性を示すことが導かれ、アムデベルハン・モール・ヴィニャの予想を確認する。
• $\theta_\mu(x)$ に対して $\log\theta_\mu(x)$ が $x > 8e(\mu+2)^2$ で厳密に増加することを示し、$n > 4e(\mu+2)^2$ で $\sqrt[n]{a_n(\mu)} < \sqrt[n+1]{a_{n+1}(\mu)}$ が成り立つことを示す。これにより、$\mu=0,1$ の場合にサンの予想が確認される。
• ドゥビンスキーの公式を用いて、$\log B(x)^{1/x}$ が $x \geq 1$ で厳密に増加することを証明し、$\{\sqrt[n]{B_n}\}$ が厳密に増加することを確認する。
• $\sqrt[n]{B_n}$ の単調性は、ポアソン確率変数 $Z$ にホルダーの不等式を適用することで導かれる。$0 < x < y$ で $E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$ が成り立つことから、$B(x)^{1/x}$ が厳密に増加することが導かれる。