[論文レビュー] Higher Order Topological Phases: A General Principle of Construction

Dumitru Călugăru, Vladimir Juričić+1 more|MPG.PuRe (Max Planck Society)|Aug 27, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、相互に反交換するエルミート行列と離散的対称性破れウィルスン質量を用いることで、任意の次元および対称性クラスにおいて高次位のトポロジカル（HOT）相を構築する一般原理を提案する。p−1個の追加の反交換行列が存在する場合、n次までのHOT相を実現可能であることが示され、ノードループおよびディラック半金属における明示的実装が行われており、表面ゼロモードを有さない新しい4次位の相が得られている。

ABSTRACT

We propose a general principle for constructing higher-order topological (HOT) phases. We argue that if a $D$-dimensional first-order or regular topological phase involves $m$ Hermitian matrices that anti-commute with additional $p-1$ mutually anti-commuting matrices, it is conceivable to realize an $n$th-order HOT phase, where $n=1, \cdots, p$, with appropriate combinations of discrete symmetry-breaking Wilsonian masses. An $n$th-order HOT phase accommodates zero modes on a surface with codimension $n$. We exemplify these scenarios for prototypical three-dimensional gapless systems, such as a nodal-loop semimetal possessing SU(2) spin-rotational symmetry, and Dirac semimetals, transforming under (pseudo-)spin-$\frac{1}{2}$ or 1 representations. The former system permits an unprecedented realization of a fourth-order phase, without any surface zero modes. Our construction can be generalized to HOT insulators and superconductors in any dimension and symmetry class.

研究の動機と目的

• すべての次元および対称性クラスにわたる高次位トポロジカル（HOT）相を体系的に構築するための一般枠組みを確立すること。
• 1次位トポロジカル系から高次位トポロジカル相が生じる最小限の条件を同定すること。
• ノードループおよびディラック半金属といった代表的な3次元ギャップなし系においてHOT相が出現することを示すこと。
• 対称性破れウィルスン質量による表面状態の逐次的次元削減によって高次位トポロジカルモードが生じることを示すこと。
• HOT絶縁体、超伝導体、半金属へこの構成法を拡張し、表面モードを有さないノードループ半金属における4次位相の実現を含めること。

提案手法

• D次元系におけるm個のエルミート行列を特定し、それらが1次位トポロジカル相を記述することに基づく。
• m個の行列と反交換するp−1個の追加の相互に反交換する行列を導入し、それらがトポロジカル質量項を表す。
• 離散的対称性破れウィルスン質量を、これらのp−1個の行列の組み合わせとして適用し、トポロジカル表面モードの次元削減を誘導する。
• 有効な1粒子ハミルトニアン、例えば $ \hat{h}^{\rm NL}_{\rm WSDW} = N^{2}_{1}(\mathbf{k}) \left[ \sum^{3}_{j=1} \Delta_{j} \sigma_{j} \otimes N'_{j}(\mathbf{k}) \right] $ を用いてスピン密度波秩序をモデル化する。
• D_{4h}点群におけるWSDW秩序の対称性分類を用いて、表面状態に及ぼすトポロジカル効果を特定する。
• 密度状態のスケーリング $ g(E) \sim |E| $ を用いて、バルクのノードループがすべてのWSDW秩序に対して保護されていることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元および対称性クラスにおいて、高次位トポロジカル相を体系的に構築する一般原理を定式化できるか？
• RQ2 相互に反交換する行列が、1次位からn次位までのトポロジカル相の階層的構成に果たす役割は何か？
• RQ3 特定の点群対称性を持つウィルスン質量項が、ギャップなし系における表面モードの次元削減をどのように誘導するか？
• RQ4 表面ゼロモードを有さないノードループ半金属において、4次位トポロジカル相を実現できるか？
• RQ5 ディラック半金属およびノードループ半金属といったギャップなし系における高次位モードのトポロジカル保護機構は何か？

主な発見

• 表面ゼロモードを有さないノードループ半金属において、3つの異なるWSDW秩序を逐次的に適用することで4次位トポロジカル相が実現された。
• $ \mathrm{B_{1u}} $ WSDW秩序は、2次元のドアハット表面状態を $ k_x=0 $ および $ k_y=0 $ に沿う1次元のアーク状態に次元削減し、2次位NLSMを実現した。
• $ \mathrm{A_{2u}} $ WSDW秩序は、アーク状態を端の4つの孤立した0次元コーナー状態にさらに次元削減し、3次位NLSMを実現した。
• $ \mathrm{B_{2u}} $ WSDW秩序は表面モードを完全にギャップ化し、拡張された表面またはへリックスモードを有さない4次位NLSMをもたらした。
• 密度状態のスケーリング $ g(E) \sim |E| $ を通じて、すべての高次位遷移においてバルクのノードループが保護されていることが確認された。
• この構成法は、すべてのAltland-Zirnbauerクラスおよび次元におけるHOT絶縁体、超伝導体、半金属へ一般化可能である。