[論文レビュー] Higher Rédei reciprocity and integral points on conics

Peter Koymans, Carlo Pagano|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$l \equiv 3 \pmod{4}$ である素数 $l$ に対して、二進形式 $N_d(x,y) = l$ が整数解をもつ平方自由整数 $d$ の密度に関する漸近公式を確立する。スミスの研究に基づき、レデイの相互法則を一般化することで、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の狭類群の $2$- torsion において、$l$ 上のイデアルが一意な関係である確率を表す正確な密度 $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$ を導出する。これはスティーブンヘーゲンの負のペル方程式に関する予想の重要なケースを解決し、類群の $2$-primary 部分に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Fix an integer $l$ such that $|l|$ is a prime $3$ modulo $4$. Let $d > 0$ be a squarefree integer and let $N_d(x, y)$ be the principal binary quadratic form of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. Building on a breakthrough of Alexander Smith, we give an asymptotic formula for the solubility of $N_d(x, y) = l$ in integers $x$ and $y$ as $d$ varies among squarefree integers divisible by $l$. As a corollary we give, in case $l > 0$, an asymptotic formula for the event that the Hasse Unit Index of the field $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ is $2$ as $d$ varies over all positive squarefree integers. We also improve the results of Fouvry and Klüners and recent results of Chan, Milovic and the authors on the solubility of the negative Pell equation. Our main new tool is a generalization of a classical reciprocity law due to Rédei.

研究の動機と目的

• 平方自由整数 $d$ の自然密度を特定すること、ここで $l$ は $3 \pmod{4}$ に合同な素数であり、$N_d(x,y) = l$ が整数解をもつこと。
• レデイの相互法則を一般化し、実二次体の狭類群の $2$-primary 部分の分布を研究すること。
• Hasse 単位指数が $2$ であるような $d$ の割合に関する正確な漸近公式を確立すること。
• 負のペル方程式および類群の $4$-ランク分布に関する先行研究を精緻化・改善すること。

提案手法

• 狭類群の $2^n$- torsion 部分群へのレデイの相互法則を高次の $2^n$-torsion へ一般化する。
• $l$ を割る平方自由整数 $d$ の変動に伴う $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ の $4$-ランクの分布を、マルコフ連鎖モデルで記述する。
• $\text{Pr}_{l,2}(n)$ を、$\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ の $4$-ランクが $n$ である確率と定義し、これが $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$ に等しいことを示す。
• ハッセ＝ミンコフスキーの定理を用いて $\mathbb{Q}$ 上の可解性を局所的条件に還元し、種の理論を用いて $l$ の種の体における分裂挙動を分析する。
• $\sum_{n=0}^\infty 2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2} = 1$ の恒等式を用いて密度測度を正規化し、最終的な漸近式を導出する。
• マルコフ連鎖の力学に基づく $\liminf$ および $\limsup$ の評価により、$\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$ の極限の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方自由整数 $d$ の自然密度は何か？ ここで $l$ は $3 \pmod{4}$ に合同な素数であり、$N_d(x,y) = l$ が整数解をもつこと。
• RQ2 $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ の $4$-ランクは、$N_d(x,y) = l$ の可解性にどのように影響するか？
• RQ3 Hasse 単位指数が $2$ であるような $d$ の漸近的密度は何か？
• RQ4 一般化されたレデイの相互法則は、狭類群の $2$-torsion の分布をどの程度制御するか？
• RQ5 素数 $l$ が類群の $2$-torsion において一意な関係に対応する確率は、$4$-ランクに依存するか？

主な発見

• 整数解をもつ平方自由 $d$ の漸近的密度は $\gamma = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{-n^2} \eta_\infty \eta_n^{-2}}{2^{n+1} - 1}$ であり、ここで $\eta_n = \prod_{j=1}^n (1 - 2^{-j})$ である。
• $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{d}))[2^\infty]$ の $4$-ランクが $n$ である確率は、$l \mid d$ の条件下で正確に $\frac{1}{2^{n+1} - 1}$ に等しい。
• $\lim_{X \to \infty} \frac{|S_{\mathbb{Z},X,l}|}{|S_{\mathbb{Q},X,l}|} = \gamma$ の極限は存在し、提示された無限級数に等しく、これはスティーブンヘーゲンの負のペル方程式に関する予想の重要なケースを解決する。
• $l$ を割る平方自由整数 $d$ の変動に伴う $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の狭類群の $2$-primary 部分の分布は、$\mathbb{F}_2$ 上のランダムな線形写像およびペアリングから導かれる遷移確率を持つマルコフ連鎖モデルによって支配される。
• 本手法により、$l > 0$ が $3 \pmod{4}$ に合同な素数であるとき、$\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ の Hasse 単位指数が $2$ である事象の漸近的密度についての新しい証明が得られ、この場合におけるスティーブンヘーゲンの予想の予測が確認される。
• 著者らは、フォーヴリ–クライナーおよびチャン–ミロビッチ–クイマース–パガノによる負のペル方程式に関する先行研究を改善し、正の平方自由整数 $d$ の変動に伴う $x^2 - dy^2 = -1$ の可解性に関する正確な漸近的密度を確立した。