[論文レビュー] Governing fields and statistics for 4-Selmer groups and 8-class groups

Alexander Smith|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、グランドリーマン予想の下で、有理数体ℚ上の全有理2-torsionを持つ楕円曲線の2次捩れの4-Selmer群が、デラウンイのヒューリスティックが予測する分布に従うことを確立する。同様に、虚2次体の8類群はコーエン＝レングストラ分布に従う。主なメカニズムには、支配的体とルジャンドル記号分布の統計的制御が含まれ、非一般的構成は密度がゼロであることが示され、モーメントは自明な値に収束する。

ABSTRACT

Taking A to be an abelian variety with full 2-torsion over a number field k, we investigate how the 4-Selmer rank of the quadratic twist A^d changes with d. We show that this rank depends on the splitting behavior of the primes dividing d in a certain number field L/k. Assuming the grand Riemann hypothesis, we then prove that, given an elliptic curve E/Q with full rational 2-torsion, the quadratic twist family of E usually has the distribution of $4$-Selmer groups predicted by Delaunay's heuristic. Analogously, and still subject to the grand Riemann hypothesis, we prove that the set of quadratic imaginary fields has the distribution of 8-class groups predicted by the Cohen-Lenstra heuristic.

研究の動機と目的

• 全有理2-torsionを持つ楕円曲線の2次捩れ族における4-Selmer群の分布を理解すること。
• 8類群の分析を通じて、類群の2-主部へのコーエン＝レングストラのヒューリスティックを拡張すること。
• 2次捩れの4-Selmerランクが、特定の数体L/kにおける素数の分解挙動に依存することを示すこと。
• 4-Selmer群および4類群構造における非一般的構成が、漸近的密度ゼロを示すことを証明すること。これにより、期待される分布への収束が可能になる。

提案手法

• 本稿は、支配的体L/kを用いて、A^(d)の4-Selmerランクがdの割る素数の分解挙動に依存することを特定する。
• p-adic Selmer群のBKLPRヒューリスティックを適用し、4-Selmer群をℤ₂上でのランダムな交代行列の余核としてモデル化する。
• 判別式および捩れの族におけるルジャンドル記号分布を分析し、非一般的Selmerおよび類群部分空間が極限で自明なモーメントを持つことを示す。
• ケインの2-Selmer群モーメントに関する議論を適応し、(ℚ×/(ℚ×)²)⊕³内のタプル空間における非退化交代ペアリングを用いる。
• S_{N,r,D}上での|W_ng|·|W'_ng|の平均が1であることを証明し、非一般的部分空間の分布が自明であることを示す。
• 2(𝒞lK[4])およびSel^(2)(E^(d))/E^(d)[2]の極限分布が、モーメントの収束を示すことにより、期待されるヒューリスティックと一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グランドリーマン予想のもとで、全2-torsionを持つ楕円曲線の2次捩れの4-Selmer群は、デラウンイのヒューリスティック分布に従うか？
• RQ2 虚2次体の8類群は、ゲルスが拡張したp=2の場合のコーエン＝レングストラ分布に従うか？
• RQ3 支配的体L/kにおける素数の分解挙動は、2次捩れの4-Selmerランクにどのように影響するか？
• RQ4 4-Selmer群および4類群における非一般的構成の漸近的密度はいかほどか？
• RQ5 4-Selmerおよび4類群構造における非一般的部分空間のモーメントが、自明な値に収束することを示せるか？

主な発見

• グランドリーマン予想のもとで、全有理2-torsionを持つ楕円曲線の2次捩れの4-Selmer群は、デラウンイのヒューリスティックが予測する分布に従う。
• 同じ仮定のもとで、虚2次体の8類群は、ゲルスが拡張したp=2の場合のコーエン＝レングストラ分布に従う。
• 非一般的構成（共通成分を持つ非分岐な要素によって定義される）は、ルジャンドル記号分布の極限において、漸近的密度がゼロである。
• 2-Selmer群における非一般的部分空間W_ngおよびW'_ngのサイズのモーメントは、素数の数が増加するにつれて1に収束し、これは分布が自明であることを示唆する。
• S_{N,r,D}上での|W_ng|·|W'_ng|の平均が1であるため、これらの部分空間の分布は極限で自明である。
• すべての判別式における2(𝒞lK[4])の極限分布は、期待されるヒューリスティックと一致する。非一般的構成は極限モーメントに影響を及ぼさない。