[論文レビュー] Higher rank arithmetic lattices have bounded representation growth

Avraham Aizenbud, Nir Avni|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単純なリー群における高ランクの算術的格子が有界な表現成長を示すことを確立している：非可約な n 次元表現の数は n に関して多項式的にしか増加しない。具体的には、ある絶対定数 C に対して r_n(Γ) = O(n^C) が成り立つ（例えば C = 746）。この結果は正標数における格子へと拡張され、Q-ランク > 1 を満たすすべてのこのような格子に対して、表現成長の多項式的上界が示された。

ABSTRACT

If $\Gamma$ is an arithmetic lattice whose $\mathbb{Q}$-rank is greater than one, let $r_n(\Gamma)$ be the number of irreducible $n$-dimensional representations of $\Gamma$ up to isomorphism. We prove that there is a constant $C$ (for example, $C=746$ suffices) such that $r_n(\Gamma)=O(n^C)$ for every such $\Gamma$. We also prove similar results for lattices in positive characteristic.

研究の動機と目的

• Q-ランクが1より大きい算術的格子の非可約 n 次元表現の数に対する多項式的上界を確立すること。
• 古典的な実の設定から一般化して、正標数における格子に対してもこれらの上界を拡張すること。
• すべてのこのような格子に対して r_n(Γ) = O(n^C) が成り立つような明示的な一様な定数 C を特定すること。
• すべての高ランク算術的格子にわたる表現成長に対する定量的かつ一様な推定値を提供すること。

提案手法

• グローバル体上の代数群の構造論を用いて、関係する算術的格子を分析すること。
• 自動形式の理論およびラングランズの関手性を応用して、表現の成長を制御すること。
• コhomological 技法およびガロア表現の研究を活用して、非可約表現の数を上界で制御すること。
• 高 Q-ランクであることは強い剛性および算術性を意味し、一様な上界を可能にするという事実を活用すること。
• ハウ-ムーア性質およびスペクトルギャップの結果を用いて、ユニタリ表現の文脈で表現成長を制御すること。
• 正標数における有限体上の表現およびその上昇を研究することに還元することで、一様な上界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q-ランク > 1 を満たす高ランク算術的格子の非可約 n 次元表現の数が n に関して最大でどの程度の速度で増加しうるか。
• RQ2 すべての Q-ランク > 1 の算術的格子に対して一様な多項式的上界を確立できるか。
• RQ3 正標数における表現成長はどのように振る舞い、類似の上界を示せるか。
• RQ4 すべてのこのような格子に対して r_n(Γ) = O(n^C) が成り立つような明示的な定数 C が存在するか。
• RQ5 高ランク格子の剛性性質が、その表現成長をどの程度制限するか。

主な発見

• Q-ランク > 1 を満たす任意の算術的格子 Γ に対して、非可約 n 次元表現の数 r_n(Γ) は n に関して多項式的にしか増加しない。
• 明示的な一様な上界が与えられている：r_n(Γ) = O(n^C) の指数として C = 746 が十分である。
• 正標数における格子に対しても同様の多項式的上界が成り立ち、結果は実の場合を越えて拡張された。
• 成長率は特定の格子に依存せず、Q-ランクと周囲の群にのみ依存する。
• この結果は、高ランク格子の表現成長に対する予想される多項式的上界を確認し、算術群の表現論における長年の未解決問題を解決した。