[論文レビュー] Prime II$_1$ factors arising from irreducible lattices in products of rank one simple Lie groups

Daniel Drimbe, Daniel J. Hoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、測度同値性と変形／剛性技法を用いて、中心が有限で、連結で非コンパクトなランク1の単純なリー群の積におけるicc不可約格子 Γ に対して、群のvon Neumann代数 L(Γ) が素であることを示すことにより、高ランクな単純リー群における格子から生じる初の素な II₁ 因子の例を確立した。この結果は、ランク1の群（たとえば自由群や SL₂(ℝ)）に限られていた素性に関する結果を、高ランクの設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We prove that if $Γ$ is an icc irreducible lattice in a product of connected non-compact rank one simple Lie groups with finite center, then the II$_1$ factor $L(Γ)$ is prime. In particular, we deduce that the II$_1$ factors associated to the arithmetic groups $ ext{PSL}_2(\mathbb Z[\sqrt{d}])$ and $ ext{PSL}_2(\mathbb Z[S^{-1}])$ are prime, for any square-free integer $d\geq 2$ with $d ot\equiv 1 mod{4}$ and any finite non-empty set of primes $S$. This provides the first examples of prime II$_1$ factors arising from lattices in higher rank semisimple Lie groups. More generally, we describe all tensor product decompositions of $L(Γ)$ for icc countable groups $Γ$ that are measure equivalent to a product of non-elementary hyperbolic groups. In particular, we show that $L(Γ)$ is prime, unless $Γ$ is a product of infinite groups, in which case we prove a unique prime factorization result for $L(Γ)$.

研究の動機と目的

• 高ランクな単純リー群における格子から生じる II₁ 因子が素であるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 従来、ランク1の群（たとえば自由群や SL₂(ℝ)）に限られていた素性に関する結果を、高ランクの格子へと拡張すること。
• Γ が非自明な双曲群の積と測度同値である場合に、L(Γ) に対して一意な素因数分解定理を確立すること。
• PSL₂(ℤ[√d]) や PSL₂(ℤ[S⁻¹]) のような高ランクリー群における格子から生じる可分な素な II₁ 因子の初の例を提供すること。
• このような群に対して、L(Γ) のすべてのテンソル積分解釈を特徴づけ、Γ が無限大の群の積でない限り、素性が成立することを示すこと。

提案手法

• Γ を非自明な双曲群の積と関連付けるために測度同値性を用い、剛性技法の適用を可能にする。
• 変形／剛性理論と閉可導関数を用いて L(Γ) の構造、特にその相対可換束の構造を分析する。
• 測度空間上の群作用の文脈において、弱包含と強い漸近的直交性の概念を活用する。
• 背理法を用いて、環境群 G に非自明な正規コンパクト部分群が存在しないことを示し、それが不可約性に反することを排除する。
• ユニタリ同値性と拡張を用いて L(Γ) のテンソル積分解釈を分類し、任意の分解が群の積分解釈から生じることを示す。
• 積分解釈における各因子 Γ_i に対して L(Γ_i) が素であることを利用し、因数分解の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクな単純リー群における格子から生じる II₁ 因子は素であるか？
• RQ2 Γ が非自明な双曲群の積と測度同値であるような icc 群 Γ に対して、L(Γ) の可能なテンソル積分解釈は何か？
• RQ3 Γ がランク1リー群の積における不変格子である場合、L(Γ) に対して一意な素因数分解が存在するか？
• RQ4 PSL₂(ℤ[√d]) や PSL₂(ℤ[S⁻¹]) のような算術群は、素な II₁ 因子を生成するか？
• RQ5 非自明なテンソル積分解釈の存在が、群 Γ にどのような構造的制約を課えるか？

主な発見

• 任意の中心が有限で、連結で非コンパクトなランク1の単純リー群の積におけるicc不可約格子 Γ に対して、II₁ 因子 L(Γ) は素である。
• 任意の平方自由な d ≥ 2 で d ≢ 1 (mod 4) であり、任意の空でない素数の集合 S に対して、算術群 PSL₂(ℤ[√d]) および PSL₂(ℤ[S⁻¹]) は、素な II₁ 因子を生成することが示された。
• 任意の Γ ∈ ℒ に対して、II₁ 因子 L(Γ) は素である。これにより、広範な新しい例のクラスが確立された。
• Γ が無限大の群の積である場合、L(Γ) は L(Γ_i) の形をした素因数への一意な素因数分解をもつ。
• L(Γ) の任意のテンソル積分解釈は、ユニタリ同値性および拡張を除いて、Γ = Σ₁ × Σ₂ のような群の積分解釈から生じる。
• 因数分解の一意性により、L(Γ) = P₁ ⊗̄ ⋯ ⊗̄ Pₘ である場合、各 P_j は L(Γ_i) のテンソル積にユニタリ同値であり、各 P_j が素であるならば、m = k であり、因数分解は順列およびユニタリ同値性を除いて一意である。