[論文レビュー] Higher-Rank Non-Abelian Tensor Field Theory: Higher-Moment or Subdimensional Polynomial Global Symmetry, Algebraic Variety, Noether's Theorem, and Gauge

Juven Wang, Kai Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、n次元空間における次数-(m−1)の高次モーメント多項式グローバル対称性を導入し、埋め込みと葉層構造を介して代数的アフィン部分多様体上の部分次元対称性と結びつける。ノネルの定理を一般化し、この対称性をゲージ化することで、非アーベル的ランク-mテンソルゲージ理論の新クラスを導出し、対称的テンソルゲージ場と反対称的トポロジカル場理論を統合するハイブリッド枠組みを提供する。

ABSTRACT

With a view toward a theory of fracton and embeddon in condensed matter, we introduce a higher-moment polynomial degree-(m-1) global symmetry, acting on complex scalar/vector/tensor fields. We relate this higher-moment global symmetry of $n$-dimensional space, to a lower degree (either ordinary or higher-moment, e.g., degree-(m-1-$\ell$)) subdimensional or subsystem global symmetry on layers of $(n-\ell)$-submanifolds. These submanifolds are algebraic affine varieties (i.e., solutions of polynomials). The structure of layers of submanifolds as subvarieties can be studied via mathematical tools of embedding, foliation and algebraic geometry. We also generalize Noether's theorem for this higher-moment polynomial global symmetry. We can promote the higher-moment global symmetry to a local symmetry, and derive a new family of higher-rank-m symmetric tensor gauge theory by gauging. By further gauging a discrete charge conjugation symmetry, we derive a new more general class of non-abelian rank-m tensor gauge field theory: a hybrid class of (symmetric or non-symmetric) higher-rank-m tensor gauge theory and anti-symmetric tensor topological field theory, generalizing [arXiv:1909.13879]'s theory interplaying between gapless and gapped sectors.

研究の動機と目的

• n次元空間におけるテンソル場に作用する次数-(m−1)の高次モーメント多項式グローバル対称性を確立すること。
• このグローバル対称性を、代数的アフィン多様体としての解をもつ(n−ℓ)次元部分多様体上の低次の部分次元的またはサブシステム対称性と結びつけること。
• この高次モーメント対称性に対してノネルの定理を一般化し、それを局所対称性へとゲージ化可能にする。
• グローバル対称性を局所対称性へと昇格することで、高ランク-m対称的テンソルゲージ理論の新家族を構築すること。
• さらに離散的電荷共役対称性をゲージ化することで、ギャップありとギャップなしのセクターを統合するハイブリッド型の非アーベル的ランク-mテンソルゲージ理論へとこの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 代数幾何学、埋め込み理論、および葉層構造の道具を用いて、多項式方程式の解として得られる(n−ℓ)次元部分多様体の層を分析する。
• n次元空間における複素スカラー場、ベクトル場、またはテンソル場に作用する次数-(m−1)の多項式グローバル対称性を定義する。
• 変分原理を用いて、高次モーメントグローバル対称性に対する一般化されたノネルカレントと保存則を導出する。
• 標準的なゲージ化手順によりグローバル対称性を局所対称性に昇格させ、高ランク-m対称的テンソルゲージ理論を導出する。
• 離散的電荷共役対称性を導入し、それをゲージ化することで、対称的テンソルゲージ場と反対称的トポロジカル場理論を統合するハイブリッド理論を生成する。
• 代数的多様体の枠組みを用いて、部分次元的対称性層の幾何的構造を特徴付け、グローバル対称性実現におけるその役割を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元空間における次数-(m−1)の高次モーメント多項式グローバル対称性を、どのように体系的に定義し、低次元部分多様体上の部分次元的対称性と結びつけることができるか？
• RQ2 この高次モーメントグローバル対称性に対するノネルの定理の一般化形は何か？そして、保存カレントをどのように導くか？
• RQ3 このような対称性のゲージ化が、一貫性のある高ランク-mテンソルゲージ理論をどのように導くか？
• RQ4 具体的には、代数的アフィン多様体として現れる幾何的構造は、部分次元的対称性を支える自然な部分多様体としてどのように現れるか？
• RQ5 対称的テンソルゲージ場と反対称的トポロジカル場理論を、追加の離散的対称性のゲージ化によって統合できるか？その結果得られる物理的性質は何か？

主な発見

• 次数-(m−1)の高次モーメント多項式グローバル対称性が、n次元空間におけるテンソル場に定義され、標準的なグローバル対称性を一般化する。
• この対称性が、多項式方程式の解として得られる代数的アフィン多様体である(n−ℓ)次元部分多様体上に低次のグローバル対称性を誘導することが示された。
• 一般化されたノネルの定理が導出され、標準的なノネル手続きを拡張する、高次モーメント対称性に関連する保存カレントが得られた。
• 高次モーメントグローバル対称性のゲージ化により、新しい高ランク-m対称的テンソルゲージ理論の家族が得られ、このような対称性の場理論的実現が可能になった。
• さらに離散的電荷共役対称性をゲージ化することで、対称的テンソルゲージ場と反対称的トポロジカル場理論がハイブリッド型の非アーベル的ランク-mテンソルゲージ理論へと統合された。
• この枠組みにより、部分次元的対称性を支える部分多様体が自然に代数的多様体として記述され、埋め込みと葉層構造の技術を用いた幾何的分類が可能になった。