[論文レビュー] Higher regularity properties of mappings and morphisms

Steven Duplij, Władysław Marcinek|ArXiv.org|May 31, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、圏論における可逆性を一般化する枠組みを提示し、厳密な逆写像の代わりに一般化逆写像を用いた高次正則性条件によって、正則性への拡張を可能にする。また、障害写像 $e^{(n)}$ を用いて非可逆なヤン・バクスター方程式の類似形を提案し、モノイダル圏における自己準同型と射の正則化を可能にする。これは、超対称性および非可換幾何学における非可逆構造に特に関連する。

ABSTRACT

We propose to extend ``invertibility'' to ``regularity'' for categories in general abstract algebraic manner. Higher regularity conditions and ``semicommutative'' diagrams are introduced. Distinction between commutative and ``semicommutative'' cases is measured by non-zero obstruction proportional to the difference of some self-mappings (obstructors) $e^{(n)}$ from the identity. This allows us to generalize the notion of functor and to ``regularize'' braidings and related structures in monoidal categories. A ``noninvertible'' analog of the Yang-Baxter equation is proposed.

研究の動機と目的

• 可換性の要件を緩和する正則性条件を導入することで、圏論における可逆性の概念を一般化すること。
• 一般化逆写像を用いて、モノイダル圏における函手およびブレーディングの概念を非可逆な設定へと拡張すること。
• 量子場理論、超対称性、非可換幾何学に生じる非可逆構造のための圏論的枠組みを提供すること。
• 可逆性を障害写像 $e^{(n)}$ を含む正則性条件に置き換えることで、ブレードおよび対称圏の正則化を定義すること。
• 自己準同型半群の解を許容するように修正された前ブレーディング構造を用いて、ヤン・バクスター方程式の非可逆類似形を提案すること。

提案手法

• 写像 $f^*$ が $f \circ f^* \circ f = f$（内部正則性）および $f^* \circ f \circ f^* = f^*$（外部正則性）を満たす一般化逆写像を導入し、半群理論における逆写像を一般化する。
• 障害写像 $e^{(n)}$ を用いて $n$-正則性を定義し、前ブレーディング構成における恒等写像 $\mathrm{Id}_X$ のずれを測定する。
• 標準的ブレーディングを弱めるために、修正された前ブレーディング写像 $\mathbf{B}^{L(n)} = e_X^{(n)} \otimes \mathrm{B}_{Y,Z}$ および $\mathbf{B}^{R(n)} = \mathrm{B}_{X,Y} \otimes e_Z^{(n)}$ を構成する。
• 標準的ブレーディングを $n$-正則化された対応物に置き換えることで、ヤン・バクスター方程式 (35) の正則化版を導出する。
• 対称モノイダル圏にこの形式を適用し、可逆性条件 $\mathrm{B}_{Y,X} \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{Id}$ を $\mathrm{B}_{X,Y} \circ \mathrm{B}_{X,Y}^* \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{B}_{X,Y}$ に置き換える。
• 半群理論および一般化逆写像法を用いて、非可逆ヤン・バクスター方程式の解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圏論における可逆性の概念を、同型写像を超えて非可逆な射を含むようにどのように一般化できるか？
• RQ2 可逆性ではなく一般化正則性条件を満たす射の圏論的構造はどのようなものか？
• RQ3 ブレードおよび対称モノイダル圏を、非可逆なブレーディングを扱えるようにどのように正則化できるか？
• RQ4 ブレーディングが一般化逆写像を備えた非可逆自己準同型に置き換えられた場合、ヤン・バクスター方程式の形はどのように変化するか？
• RQ5 障害写像 $e^{(n)}$ は、前ブレーディングおよびブレーディング関係における可逆性からのずれをどのように定量化するか？

主な発見

• 本稿では、$f \circ f^* \circ f = f$ および $f^* \circ f \circ f^* = f^*$ を満たす一般化逆写像 $f^*$ を導入し、半群理論における逆写像を一般化する。
• 正則化ブレーディング条件 $\mathrm{B}_{X,Y} \circ \mathrm{B}_{X,Y}^* \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{B}_{X,Y}$ は、標準的可逆性条件 $\mathrm{B}_{Y,X} \circ \mathrm{B}_{X,Y} = \mathrm{Id}$ を置き換え、非可逆なブレーディングを可能にする。
• $n$-正則化された前ブレーディング写像 $\mathbf{B}^{L(n)}$ および $\mathbf{B}^{R(n)}$ は、$e_X^{(n)}$ を用いて定義され、合成における恒等写像からのずれを測定する。
• 非可逆ヤン・バクスター方程式の類似形が式 (35) で導出され、標準的ブレーディングが $n$-正則化された対応物に置き換えられている。
• この形式は、自己準同型半群における解を可能にし、ヤン・バクスター方程式の適用範囲を群的構造を超えて拡張する。
• この構成は、従来の可逆性が成立しない超対称的および非可換幾何学における非可逆構造のための圏論的枠組みを提供する。