[論文レビュー] Higher rho invariants and the moduli space of positive scalar curvature metrics

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、群 C*-代数の有限部分 K-理論と高次 rho 不変量を用いて、閉じたスピン多様体上の正スカラー曲率計量のモジュライ群のランクに対する下界を確立する。次元 ≥5 で強く有限に埋め込める基本群をもつ多様体に対して、モジュアイングループのランクは、基本群内の非自明な torsion 要素の数以上であることを示しており、微分同相写像の作用に対して不変である計量不変量を用いている。

ABSTRACT

Given a closed smooth manifold M which carries a positive scalar curvature metric, one can associate an abelian group P(M) to the space of positive scalar curvature metrics on this manifold. The group of all diffeomorphisms of the manifold naturally acts on P(M). The moduli group of positive scalar curvature metrics is defined to be the quotient abelian group of this action, i.e. the coinvariant of the action. The moduli group measures the size of the moduli space of positive scalar curvature metrics on M. In this paper, we use the higher rho invariant and the finite part of the K-theory of the group C*-algebra of the fundamental group of M to give a lower bound of the rank of the moduli group.

研究の動機と目的

• 閉じたスピン多様体上の正スカラー曲率計量のモジュライ空間の大きさを理解すること。
• 微分同相写像の作用に対して不変である不変量を開発し、モジュアイングループ内の要素を区別すること。
• 群 C*-代数の高次 rho 不変量と有限 K-理論を用いて、モジュアイングループのランクに対する下界を確立すること。
• 強く有限に埋め込める群に対して、モジュアイングループのランクが基本群内の非自明な torsion 要素の数と関係する予想を検証すること。

提案手法

• ディラック作用素に関連する二次不変量としての高次 rho 不変量を用い、これはリーマン計量に依存し、微分同相写像の作用に対して不変である。
• 最大群 C*-代数 $ C^*_{\text{max}}(\tilde{\rho}) $ の K-理論の有限部分を用いて、モジュアイングループ内の非自明な要素を検出する。
• 適切な性質を持つ多様体 $ Y $ を用いて $ S^1 \times Y $ 上でのススペンションにより $ M $ 上の計量を構成し、異なる正スカラー曲率計量を生成する。
• アセンブリーマップと指数理論を用いて、$ K_0(C^*(G)) $ 内の特定の射影 $ p_{\gamma} $ がアセンブリーマップの像に属さないことを示し、高次 rho 不変量の非自明性を示す。
• 境界写像 $ \partial_{\Gamma \rtimes F_m} $ を含む K-理論の図式の追いかけを用い、線形従属を仮定したときに矛盾を導くことで、単射性と非自明性を証明する。
• 奇数次元から偶数次元への結果の拡張にススペンションの議論を用い、$ C^*(\mathbb{Z} \times G) $ の K-理論を分析する。ここで $ K_1(C^*(\mathbb{Z})) \otimes K_0(C^*(G)) $ のテンソル積構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ \geq 5 $ の閉じたスピン多様体 $ M $ 上の正スカラー曲率計量のモジュアイングループ $ \widetilde{P}(M) $ の最小ランクは何か？
• RQ2 微分同相写像群の作用下で、高次 rho 不変量は $ \widetilde{P}(M) $ 内の線形独立な要素を検出できるか？
• RQ3 基本群 $ \pi_1(M) $ 内の非自明な torsion 要素の数は、強く有限に埋め込める基本群に対して $ \widetilde{P}(M) $ のランクの下界を与えるか？
• RQ4 C*-代数の K-理論の有限部分は、正スカラー曲率計量のモジュライ空間の位相とどのように関係するか？

主な発見

• 次元 $ \geq 5 $ で強く有限に埋め込める基本群 $ \Gamma $ をもつ閉じたスピン多様体 $ M $ に対して、モジュアイングループ $ \widetilde{P}(M) $ のランクは、$ \Gamma $ 内の非自明な torsion 要素の数 $ N_{\text{fin}}(\Gamma) $ 以上である。
• 高次 rho 不変量は微分同相写像群の作用に対して不変であり、これにより $ \widetilde{P}(M) $ 内の要素を区別できる。
• Lipschitz代数の $ K_0 $ の有限部分から $ K_1 $ への境界写像 $ \partial_{\Gamma \rtimes F_m} $ は単射であり、これは有限部分内の非自明な要素が Lipschitz代数の K-理論に非自明な要素へ写されることを示唆する。
• $ S^1 \times Y $ 上でのススペンションによる計量の構成は、正スカラー曲率計量の異なる同調類を生成し、それらはそれぞれ異なるスピン Bordism類に対応する。
• 偶数次元多様体で $ \pi_1(M) \twoheadrightarrow \mathbb{Z} \times G $ が全射であるとき、$ G $ が強く有限に埋め込めるならば、$ \text{rank}(\widetilde{P}(M)) \geq N_{\text{fin}}(G) $ が成り立つ。
• もし $ \pi_1(M) $ が torsion-free でないならば、$ \text{rank}(\widetilde{P}(M)) \geq 1 $ であり、これはモジュアイングループが無限個の成分を持つことを示唆する。