[論文レビュー] Higher symmetric powers of tautological bundles on Hilbert schemes of points on a surface

Luca Scala|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、曲面の点のヒルベルトスキーム上の自己同型束の高次対称冪 $ S^kL^{[n]} $ のブリッジランド＝キング＝ライド変換について、幾何的特徴付けを確立する。ヒルベルト＝チャウ写像の下での直接像に、有限の降着フィルトレーションを構成し、その各項は高次制限作用素 $ D^l_L $ の核によって制御される。これにより、正性条件の下で、ねじれ対称冪のためのスペクトル系列およびコhomological 停止定理が得られる。

ABSTRACT

We study general symmetric powers $S^k L^{[n]}$ of a tautological bundle $L^{[n]}$ on the Hilbert scheme $X^{[n]}$ of $n$ points over a smooth quasi-projective surface $X$, associated to a line bundle $L$ on $X$. Let $V_L$ be the $\mathfrak{S}_n$-vector bundle on $X^n$ defined as the exterior direct sum $L \boxplus \cdots \boxplus L$. We prove that the Bridgeland-King-Reid transform $\mathbfΦ(S^k L^{[n]})$ of symmetric powers $S^k L^{[n]}$ is quasi isomorphic to the last term of a finite decreasing filtration on the natural vector bundle $S^k V_L$, defined by kernels of operators $D^l_L$, which operate locally as higher order restrictions to pairwise diagonals. We use this description and the natural filtration on $(S^k V_L)^{\mathfrak{S}_n}$ induced by the decomposition in direct sum, to obtain, for $n =2$ or $k \leq 4$, a finite decreasing filtration $\mathcal{W}^\bullet$ on the direct image $μ_*(S^k L^{[n]})$ for the Hilbert-Chow morphism whose graded sheaves we control completely. As a consequence of this structural result, we obtain a chain of cohomological consequences, like a spectral sequence abutting to the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]}$, an effective vanishing theorem for the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A$ twisted by the determinant, in presence of adequate positivity hypothesis on $L$ and $A$, as well as universal formulas for their Euler-Poincaré characteristic.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲面上の点のヒルベルトスキーム上の自己同型束の高次対称冪 $ S^kL^{[n]} $ のコhomology を研究すること。
• ヒルベルト＝チャウ写像の下での直接像 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ の構造を、有限の降着フィルトレーション $ \mathcal{W}^\bullet $ を通じて理解すること。
• $ L $ および $ A $ に正性仮定をおくとき、$ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ に対して、スペクトル系列および停止定理を含むコhomological 合同を導出すること。
• 自己同型束の対称冪のオイラー＝ポワンカレ指数の普遍的公式を提供すること。

提案手法

• ブリッジランド＝キング＝ライド同値を用いて、$ S^kL^{[n]} $ を、$ S^kV_L $ 上のフィルトレーションの最後の項に quasi-isomorphic な複体に変換する。ここで $ V_L $ は $ \mathfrak{S}_n $-不変束 $ L^{\boxplus n} $ である。
• 局所的に $ X^n $ の対称対角に制限する作用素 $ D^l_L $ を定義し、その核を用いて $ S^kV_L $ 上のフィルトレーションを構成する。
• $ S^kV_L $ の $ \mathfrak{S}_n $-不変分解を用いて、$ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上にフィルトレーション $ \mathcal{W}^\bullet $ を誘導し、その各項を制御可能にする。
• スペクトル系列の技法を用いて、$ S^kL^{[n]} $ のコhomology を計算する。特に $ n=2 $ または $ k\leq 4 $ の場合を扱う。
• コシュール複体および多重トロールを用いて不変量を解析し、オイラー＝ポワンカレ指数の普遍的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ S^kL^{[n]} $ のブリッジランド＝キング＝ライド変換の構造は何か？
• RQ2 ヒルベルト＝チャウ写像の下での直接像 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ は、各項が制御可能となる有限の降着フィルトレーションでどのようにフィルター化できるか？
• RQ3 $ L $ および $ A $ が十分に正であると仮定したとき、$ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ に対して成り立つコhomological 停止定理は何か？
• RQ4 $ S^kL^{[n]} $ のオイラー＝ポワンカレ指数の普遍的公式は存在するか？

主な発見

• $ S^kL^{[n]} $ のブリッジランド＝キング＝ライド変換は、高次制限作用素 $ D^l_L $ の核によって定義される、$ S^kV_L $ 上の有限の降着フィルトレーションの最後の項に quasi-isomorphic である。
• $ n=2 $ または $ k\leq 4 $ の場合、$ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上に有限の降着フィルトレーション $ \mathcal{W}^\bullet $ が構成され、その各項が明示的に制御可能である。
• $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上のフィルトレーションから生じるスペクトル系列が、$ S^kL^{[n]} $ のコhomology に収束する。
• 有効な停止定理が得られる：$ L $ および $ A $ が十分に正であれば、$ H^q(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) = 0 $ が $ q>0 $ に対して成り立つ。
• すべての $ n $ および $ k $ に対して有効な、オイラー＝ポワンカレ指数 $ \chi(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) $ の普遍的公式が導出された。