[論文レビュー] Hilbert-Kunz functions of surface rings of type ADE

Daniel Brinkmann|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 96被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ代数的に閉じた体上の2次元のA型、D型、E型表面特異点（A_n, D_n, E_6, E_7, E_8）のヒルベルト＝クンツ関数を計算する。行列式因子分解とシジージモジュール理論を用いて、ヒルベルト＝クンツ関数の明示的公式を確立し、対応するSL(2,C)の有限部分群Gに対して、ヒルベルト＝クンツ多重度が2 - 1/|G|に等しいことを証明する。本研究は、正の特性におけるすべてのA型、D型、E型表面特異点について、初めて完全なヒルベルト＝クンツ関数の計算を提供する。

ABSTRACT

In this thesis we compute the Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE by using representations of their indecomposable, maximal Cohen-Macaulay modules in terms of matrix factorizations, and as first syzygy modules of homogeneous ideals. For these computations we need to compute the Hilbert-series of the involved first syzygy modules as well as the fact that the surface rings of type ADE defined over the complex numbers are the rings of invariants of C[x,y] under actions defined by the finite subgroups of SL2(C). Finally, we will show that the developed tools can be used to compute Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE with respect to other (monomial) ideals than the maximal. Moreover, Hilbert-Kunz functions of two-dimensional Fermat rings can be computed by the same method. There is also a paper, named "The Hilbert-Kunz functions of two-dimensional rings of type ADE", which gives a survey of main ideas and results. Moreover, the main theorem from Monskys paper "The Hilbert-Kunz multiplicity of an irreducible trinomial" will be generalized to a non-standard graded situation. This result will be used to study the behavior of the Hilbert-Kunz multiplicity in degenerations of the hypersurface rings defnied by those specific trinomials. Once more I want to thank my supervisor Holger Brenner for his guidance and friendship during the years.

研究の動機と目的

• 正の特性における2次元のA型、D型、E型表面環（A_n, D_n, E_6, E_7, E_8）のヒルベルト＝クンツ関数を計算すること。
• これらの環のヒルベルト＝クンツ多重度を特定し、それがSL(2,C)の対応する有限部分群Gに対して2 - 1/|G|に等しいことを確認すること。
• ヒルベルト＝クンツ理論の文脈において、シジージバンドルの幾何学的性質と行列式因子分解の代数的構造との間の関係を確立すること。
• Knörrerの周期性を用いて、高次元環への結果の拡張を行い、そのような設定におけるシジージモジュールの自由性を分析すること。

提案手法

• A型特異点の超曲面環上での最大コhen＝マコーレーイ・モジュールを記述するために、行列式因子分解を用いる。
• 単項イデアルの第一シジージモジュール理論を適用し、ヒルベルト級数を計算してヒルベルト＝クンツ関数を導出する。
• フォビニウス引き戻しとベクトルバンドルの安定性条件を用いて、正の特性におけるシジージモジュールの挙動を分析する。
• Hanのδ関数と極限ヒルベルト＝クンツ多重度を用いて、シジージモジュールの非半安定性および分解挙動を検出する。
• Knörrerの周期性定理を適用し、高次元環のヒルベルト＝クンツ関数とA型表面環のそれらとの関係を確立する。
• CoCoAを用いた計算代数により、特に有理近似における床関数に関する補題2.31の結果を実装・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性におけるA_n, D_n, E_6, E_7, E_8型表面環のヒルベルト＝クンツ関数の明示的形は何か？
• RQ2 ADE環における単項イデアルのシジージモジュールが、大きなフォビニウス巾に対していつ自由または分解可能になるか？
• RQ3 ADE表面環のヒルベルト＝クンツ多重度は常に2 - 1/|G|に等しいのか？ また、特性0における群G ⊂ SL(2,C)とはどのように関係するか？
• RQ4 Knörrerの周期性によって構成された高次元環のヒルベルト＝クンツ関数は、ADE表面環のケースから導出可能か？
• RQ5 ADE環における単項イデアルのシジージモジュールがいつコヘン＝マコーレーイまたは自由になるか？ また、これはδ関数と有理近似とどのように関係するか？

主な発見

• A_n環のヒルベルト＝クンツ関数が明示的に計算され、周期がn+1の整除を満たす擬多項式であることが示された。
• n ≥ 4であるD_n環では、引き戻しとシジージモジュールを用いてヒルベルト＝クンツ関数が決定され、周期が2nの整除を満たす。
• E_6, E_7, E_8環のヒルベルト＝クンツ多重度が、それぞれ|G| = 120, 180, 240であることを確認し、2 - 1/|G|に等しいことが示された。
• 特性5において、E_8環における(X^100, Y^100, Z^75)のシジージモジュールはR(-135) ⊕ R(-140)に分解し、e ≥ 2に対してHK(I,R,5^e) = (2928/25)·25^eが成り立つ。
• R = k[X,Y,Z]/(X^3 + Y^3 + Z^4)の環に対して、ヒルベルト＝クンツ関数がHK(R,5^e) = (61/25)·25^eを満たし、多重度の公式が確認された。
• T = k[U_1,…,U_n,X,Y,Z]/(∑U_i^2 + F(X,Y,Z))という高次元環Tにおける最大イデアルのシジージモジュールのヒルベルト級数が計算され、負の係数を持つことが示された。これにより、それがコヘン＝マコーレーイでないことが証明された。