[論文レビュー] Hilbert's irreducibility theorem and the larger sieve

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、一般化された大きなスクリーブ法を用いて、ヒルベルトの不約性定理の明示的定量的バージョンを構築し、多項式および楕円曲線の族におけるガロア群の振る舞いの密度を精密に推定することを可能にする。ほとんどの有理数族における特殊化において、楕円曲線のアデール的ガロア表現の像は、可能な限り大きく、その誤差項は数体および次元に依存する。

ABSTRACT

We describe an explicit version of Hilbert's irreducibility theorem using a generalization of Gallagher's larger sieve. We give applications to the Galois theory of random polynomials, and to the images of the adelic representation associated to elliptic curves varying in rational families.

研究の動機と目的

• スクリーブ法を用いて、ヒルベルトの不約性定理に対する明示的定量的評価を提供すること。
• 次数 $ n $ のランダムな多項式のガロア群を研究し、全ガロア群をとる特殊化の自然密度を特定すること。
• 有理数体 $ \mathbb{Q} $ または数体 $ k \neq \mathbb{Q} $ の場合に、楕円曲線族におけるアデール的ガロア表現の像を分析すること。
• 高さ関数および $ \ell $-進ノルムを用いて、ガロア像が一般の像より小さい特殊化の密度における誤差項を確立すること。
• 古典的大スクリーブを精緻化し、算術的幾何における有効な密度推定に適用するための大きなスクリーブフレームワークに応用すること。

提案手法

• 誤差項を明示的に扱えるように、ギャラガーの大きなスクリーブを多項式族およびガロア表現に一般化する。
• 体 $ k(T) $ 上の多項式 $ f(x,T) $ の分解体に大きなスクリーブを適用し、$ G_t \neq G $ となる特殊化 $ t \in k^n $ の数を推定する。
• 体 $ k^n $ 上の高さ関数 $ H(t) $ および $ \|t\| $ を用いて自然密度を定義し、特殊化集合の大きさを測定する。
• $ \ell $-進表現および $ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) $ の構造を用いて、$ \ell $ を法とするガロア群の像を分析する。
• 問題を代数群 modulo $ m $ の点の数え上げに還元し、交換子部分群および有限商を用いて像を制御する。
• 商 $ G(m)/[\mathcal{H}_E(m), \mathcal{H}_E(m)] $ に大スクリーブを適用し、$ O(B^{[k:\mathbb{Q}](n-1/2)} \log B) $ のオーダーの誤差項を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 $ k \neq \mathbb{Q} $ に対して、多項式 $ f(x,t) $ のガロア群が一般のガロア群 $ G $ より小さい特殊化 $ t \in k^n $ の自然密度は何か？
• RQ2 体 $ k(T_1,\dots,T_n) $ 上の楕円曲線族に対して、アデール的ガロア表現 $ \rho_{E_t} $ の像は、一般の像 $ \mathcal{H}_E \cap \operatorname{SL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) $ とどのように比較できるか？
• RQ3 特に $ k = \mathbb{Q} $ の場合に、$ \rho_{E_t} $ が最大に達しない特殊化の密度における正確な誤差項は何か？
• RQ4 大きなスクリーブは、ヒルベルトの不約性定理の文脈で、古典的大スクリーブ推定をどのように精緻化するか？
• RQ5 どのような条件下で、ほとんどの $ t \in k^n $ に対して $ \rho_{E_t} $ の像は、完全な像 $ \mathcal{H}_E \cap \operatorname{SL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) $ に安定化するか？

主な発見

• 体 $ k \neq \mathbb{Q} $ に対して、特殊化 $ t \in k^n $ の密度 1 の集合において、$ \rho_{E_t} $ の像は $ \mathcal{H}_E \cap \operatorname{SL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) $ に等しい。誤差項は $ O(B^{-[k:\mathbb{Q}]/2} \log B) $ である。
• $ k = \mathbb{Q} $ の場合、ほとんどの $ t $ に対して、$ \rho_{E_t}(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})) $ は $ \mathcal{H}_E \cap \operatorname{SL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) $ の部分群であり、指数 $ r $ を持つ。ここで $ r $ は $ E $ に依存する正の整数である。
• $ \|t\| \leq B $ かつ $ G_t \neq G $ を満たす $ t \in \mathcal{O}_k^n $ の数は、$ \ll_{n,f,k} B^{[k:\mathbb{Q}](n-1/2)} \log B $ で有界であり、古典的大スクリーブの境界を改善する。
• 正規部分群に含まれる $ G $ の真の共共役不変部分集合 $ C \subset G $ に対して $ G_t \subseteq C $ を満たす特殊化の数も、$ \ll_{n,f,k} B^{[k:\mathbb{Q}](n-1/2)} \log B $ で有界である。
• $ \ell \geq 5 $ の場合、$ u \in U(k) $ の密度 1 の集合に対して、$ \ell $-進像 $ \rho_{E_{u},\ell}(\operatorname{Gal}(\overline{k}/k)) $ は $ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) $ を含む。誤差は $ O(B^{-[k:\mathbb{Q}]/2 + \varepsilon}) $ である。
• 特殊化 $ u \in U(k) $ において、$ \rho_{E_u}(\operatorname{Gal}(\overline{k}/k^\text{cyc}})) $ が完全な $ G = \mathcal{H}_E \cap \operatorname{SL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) $ に達しない確率は $ O(\log B / B^{1/2}) $ である。これは、ほとんどすべての $ u $ に対して像が完全であることを示している。