[論文レビュー] Hilbert's Tenth Problem over Function Fields of Positive Characteristic Not Containing the Algebraic Closure of a Finite Field

Kirsten Eisentraeger, Alexandra Shlapentokh|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体の代数的閉包を含まない定数体をもつ正の特性の関数体におけるヒルベルトの10番目の問題および一階論理の不決定性を確立する。$p^s$-乗数の集合の存在的定義を構成することで、著者たちは定数体に制限を課さないよう既存の結果を拡張し、パラメータなしで存在的および一階の両設定において不決定性を証明する。

ABSTRACT

We prove that the existential theory of any function field $K$ of characteristic $p> 0$ is undecidable in the language of rings provided that the constant field does not contain the algebraic closure of a finite field. We also extend the undecidability proof for function fields of higher transcendence degree to characteristic 2 and show that the first-order theory of {\bf any} function field of positive characteristic is undecidable in the language of rings without parameters.

研究の動機と目的

• 正の特性の代数的閉包定数体上の1変数関数体における不決定性問題を解決すること。
• 定数体が代数的閉包でなく、有限体の代数的閉包を含まない関数体へ既存の不決定性結果を拡張すること。
• 従来の構成における定数体の $p$-次拡張の必要性を排除し、$p^s$-乗数の存在的定義を一般化すること。
• すべての正の特性の関数体について、環の言語でパラメータなしの第一階不決定性を確立すること。
• 正の特性 $p > 0$ の場合における関数体の不決定性分類を完成させ、残りのギャップを埋めること。

提案手法

• 定数体が代数的閉包でない関数体 $K$ を含む体 $G$ を構成し、定数体の代数的閉包を加えて $M$ を得る。
• $M$ 内に $p$-乗数でない非 $p$-乗数元 $z$ を特定し、$M/F(z)$ が分離的であることを保証することで、$z$ が $p$-乗数でないことを確認する。
• 単純な零点と極を持つ有理関数 $t = (w - c_1)/(w - c_2)$ を定義し、分岐や判別式の問題を避けるように選ぶ。
• 関数 $t$ の零点および極の除法式に関するべき基底の分離性と整域性を用いて、1次素因数への分岐なしの因数分解を保証する。
• 構成体 $K = G(t, heta, heta_0, \text{係数}, \text{根})$ を構築し、拡張の構造を保ち、定義可能性を確保する。
• 補題 3.3 および [ES09] の結果を適用し、$P(K,t)$ が存在的に定義可能であることを結論づけ、パラメータなしの第一階論理の不決定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数体が有限体の代数的閉包を含まない正の特性の関数体において、ヒルベルトの10番目の問題は不決定的か？
• RQ2 定数体の $p$-次拡張を必要とせずに、このような関数体における $p^s$-乗数の集合は存在的に定義可能か？
• RQ3 任意の正の特性の関数体の第一階論理は、環の言語でパラメータなしに不決定的か？
• RQ4 $P(K)$ の存在的定義は、特性 2 および非可算体へ拡張可能か？
• RQ5 定数体および体の拡張にどのような条件が、$p^s$-乗数の定義可能性およびそれによる不決定性を可能にするか？

主な発見

• 定数体が有限体の代数的閉包を含まない限り、任意の正の特性の関数体 $K$ の存在的理論は不決定的である。
• 集合 $P(K) = \{(x, x^{p^s}) : x \in K, s \geq 0\}$ は、任意の正の特性の関数体において存在的に定義可能であり、定数体に関する従来の仮定を排除する。
• 任意の正の特性の関数体の第一階論理は、環の言語でパラメータなしに不決定的である。
• 証明は特性 2 へも拡張され、すべての正の特性における不決定性結果を完成させる。
• 構成は定数体の $p$-次拡張に依存せず、[Shl00] および [Eis03] の先行結果を一般化する。
• $P(K,t)$ の定義可能性により、$({\mathbb{Z}}, |, +)$ の解釈が可能となり、環の言語でパラメータなしの第一階論理の不決定性が導かれる。