[論文レビュー] Hilbert schemes and stable pairs: GIT and derived category wall crossings

Jacopo Stoppa, Richard Thomas|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、3次元多様体上の曲線のヒルベルトス킴と、レ・ポティエの安定ペアのモジュライ空間の共通のGIT構成を確立し、それらがGIT線形化の空間における壁の反対側のチャネルから生じることを示している。ジョイスの導来圏における壁越え理論を用いて、トポロジカルなDT/PT壁越え恒等式の短い証明が与えられる：ヒルベルトス킴のオイラー特性の母関数は、安定ペアの母関数に、点のヒルベルトス킴の母関数を乗じたものに等しい。

ABSTRACT

We show that the Hilbert scheme of curves and Le Potier's moduli space of stable pairs with one dimensional support have a common GIT construction. The two spaces correspond to chambers on either side of a wall in the space of GIT linearisations. We explain why this is not enough to prove the "DT/PT wall crossing" conjecture relating the invariants derived from these moduli spaces when the underlying variety is a 3-fold. We then give a gentle introduction to a small part of Joyce's theory for such wall crossings, and use it to give a short proof of an identity relating the Euler characteristics of these moduli spaces. When the 3-fold is Calabi-Yau the identity is the Euler-characteristic analogue of the DT/PT wall crossing conjecture, but for general 3-folds it is something different, as we discuss.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上のヒルベルトス킴と安定ペアの共通のGIT構成を確立すること。
• GIT壁越え構成だけでは、完全なDT/PT壁越え予想を証明するのに不十分である理由を説明すること。
• ジョイスの導来圏における壁越え理論を応用し、DT/PT予想のトポロジカルな類似を導出すること。
• ヒルベルトス킴と安定ペアのオイラー特性の母関数の間の恒等式を証明すること。
• カルラヤ・ヤウの場合におけるトポロジカル恒等式と仮想不変量の違いを明確にすること。

提案手法

• 同じパrameter空間上の線形化を用いて、ヒルベルトス킴と安定ペアの共通のGIT商を構成する。
• モジュライ空間がヒルベルトス킴から安定ペアに切り替わる、GITパラメータ空間における壁を同定する。
• 壁越えにおけるスタック的ホール代数への統合理論をジョイスの理論を用いて適用し、モチーフ的不変量を計算する。
• 導来圏の傾きたてた心臓におけるハーダー＝ナラシマン型の層の列を用いて、異なる安定性条件における複体を関連付ける。
• ジョイスの枠組みにおける定理4.32および4.34を適用し、中心的質量を交換し、$ q \to 1 $ における極限を計算する。
• コーン＝マクマホン曲線の空間上で統合し、押し出し写像と重み付きオイラー特性を用いて恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体上のヒルベルトス킴と安定ペアは、同じGIT商から、異なる線形化を用いて構成可能か？
• RQ2 なぜGIT壁越え構成だけでは、完全なDT/PT壁越え予想を証明するのに不十分なのか？
• RQ3 ジョイスの導来圏における壁越え理論を、トポロジカル不変量の間の恒等式を導出するためにどのように応用できるか？
• RQ4 ヒルベルトス킴と安定ペアのオイラー特性の母関数の間の正確な関係は何か？
• RQ5 カルラヤ・ヤウの場合において、トポロジカル恒等式は仮想DT/PT予想とどのように異なるか？

主な発見

• 3次元多様体上のヒルベルトス킴と安定ペアは、共通のGIT構成を備え、2つのモジュライ空間はGIT線形化の空間における壁の反対側のチャネルに一致する。
• トポロジカルなDT/PT壁越え恒等式が証明された：母関数は $ Z^I_eta(X) = Z^P_eta(X) \times Z^I_0(X) $ を満たす。
• この恒等式は一般の3次元多様体で成り立つが、カルラヤ・ヤウの場合には仮想DT/PT予想とは異なり、オイラー特性の類似にあたる。
• 証明はジョイスの導来圏における統合理論に依拠しており、特にモチーフ的ホール代数の要素における極限 $ q \to 1 $ が鍵となる。
• 重要なステップは、ヒルベルトス킴のスタックを畳み込み $ 1_{\mathcal{S}} * P_C * 1_{\mathcal{S}}^{-1} $ として表現することであり、ここで $ \mathcal{S} = \mathcal{T}[-1] $ であり、双対性とリーマン・ロッホを適用する。
• コーン＝マクマホン曲線の空間上で統合することで、この結果はグローバルな母関数恒等式に拡張される。