[論文レビュー] Hilbert schemes, integrable hierarchies, and Gromov-Witten theory

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin+1 more|ArXiv.org|Feb 18, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$\tau$-関数を介して、アフィン平面のヒルベルトスキーム上の等変交差数と可積分階層（特に2-Toda階層）の間の直接的対応を確立する。さらに、生成関数とボソン-フェルミオン双対性を通じて、$\mathbb{P}^1$および楕円曲線の定常グロモフ=ウィトテン不変量と関連づけ、対称群の共役類代数とジュチス＝マーフィー要素に根ざした統一的な組合せ的構造を明らかにする。

ABSTRACT

Various equivariant intersection numbers on Hilbert schemes of points on the affine plane are computed, some of which are organized into tau-functions of 2-Toda hierarchies. A correspondence between the equivariant intersection on Hilbert schemes and stationary Gromov-Witten theory is established.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^2$ 上のヒルベルトスキームの等変コホモロジーと可積分階層との間の明確な関係を確立すること。
• ヒルベルトスキーム上の等変交差数を $\mathbb{P}^1$ および楕円曲線の定常グロモフ=ウィトテン不変量と関連付けること。
• ジュチス＝マーフィー要素とチャーン類作用素が等変コホモロジー環を生成する役割を明確にすること。
• $\mathcal{M}(m,n)$ のモジュライ空間から2-Toda階層の $\tau$-関数を構成し、ボソン-フェルミオン双対性を介してフェルミオン的フォック空間に結びつけること。

提案手法

• $T=\mathbb{C}^*$-作用を伴う $X^{[n]}$ に同型なモジュライ空間 $\mathcal{M}(m,n)$ を導入し、等変コホモロジーを $\mathbb{H}_n^{(m)}$ に符号化する。
• フェルミオン的フォック空間と整合性を持つように補正項 $c_k^{(m)}$ を用いて、修正された等変チャーン類作用素 $\widetilde{\text{ch}}_k(\mathcal{O}^{[n]}_m)$ を定義する。
• フェルミオン的フォック空間 $\mathcal{F}^{(m)}$ 上に作用するマスターユニタリ作用素 $\mathfrak{H}(z)$ を構成し、$\widetilde{\mathfrak{G}}_z^{(m)}$ と同定し、2-Toda階層に結びつける。
• 生成関数 $\tau(x,t,s,m)$ をフォック空間における期待値として構成し、$\Gamma_+(t)$、$\Gamma_-(s)$、および $\mathfrak{H}_k$ 作用素を用いる。
• $\tau(x,t,s,m)$ が2-Toda階層の式を満たすことを証明し、二重線形恒等式 $\partial^2_{t_1 s_1} \ln \tau = \tau(m+1)\tau(m-1)/\tau(m)^2$ を含む。
• 作用素の恒等式 $\mathfrak{H}(z) = \frac{1}{e^{z/2}-e^{-z/2}}(\varepsilon_0(z) - \frac{1}{e^{z/2}-e^{-z/2}}\text{I})$ を介してグロモフ=ウィトテン／ヒルベルト対応を確立し、定常不変量に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトスキームの $\mathbb{C}^2$ 上の等変交差数は、どのように可積分階層の $\tau$-関数に整理できるか？
• RQ2 ヒルベルトスキームの等変コホモロジーと $\mathbb{P}^1$ の定常グロモフ=ウィトテン不変量との間の明確な対応は何か？
• RQ3 対称群の共役類代数におけるジュチス＝マーフィー要素とチャーン類作用素は、ヒルベルトスキームの幾何学とどのように関係するか？
• RQ4 モジュライ空間 $\mathcal{M}(m,n)$ 及びその等変コホモロジーを介して2-Toda階層を幾何的に実現できるか？
• RQ5 $\mathfrak{H}(z)$ 作用素は、ヒルベルトスキームの交差理論とグロモフ=ウィトテン理論を統合する役割を果たすか？

主な発見

• 生成関数 $\tau(x,t,s,m)$ は、$\mathcal{M}(m,n)$ 上の等変交差数の $\tau$-関数として同定される。
• $\tau$-関数は二重線形Toda方程式 $\partial^2_{t_1 s_1} \ln \tau = \tau(m+1)\tau(m-1)/\tau(m)^2$ を満たし、可積分構造が確認される。
• フェルミオン的フォック空間上に作用するマスターユニタリ作用素 $\mathfrak{H}(z)$ は、修正されたチャーン類作用素 $\widetilde{\mathfrak{G}}_z^{(m)}$ と同定され、$\tau$-関数の構成を可能にする。
• 作用素の恒等式 $\mathfrak{H}(z) = \frac{1}{e^{z/2}-e^{-z/2}}(\varepsilon_0(z) - \frac{1}{e^{z/2}-e^{-z/2}}\text{I})$ を介してグロモフ=ウィトテン／ヒルベルト対応が確立され、ヒルベルトスキームと定常グロモフ=ウィトテン不変量が結びつけられる。
• フォック空間 $\mathcal{F}^{(m)}$ 上の多点トレース関数は、ブロッホ＝オクウンコフおよびオクウンコフ＝パンダリパンドの結果に基づき、楕円曲線の定常グロモフ=ウィトテン不変量を計算する。
• $\tau$-関数は $\tau(u,x_1)$ に特殊化することで、ホイットニー数の生成関数に簡約され、$e^{-u}\partial^2_u \ln \tau = \tau(u+x_1,x_1)\tau(u-x_1,x_1)/\tau(u,x_1)^2$ を介してホイットニー理論と関連づけられる。