[論文レビュー] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular (complex) algebraic varieties

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|May 21, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モチーフ的コホロジー類とヒルツェブルー類を用いて、特異な複素代数的多様体の特徴的ホモロジー類の統一的理論を提示する。混合ホッジモジュールと代数的コボルドィズムを用いて、$ T_y: K_0(\text{var}/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $ という自然変換を構成し、$ y = -1 $ でチャーン類、$ y = 0 $ でトッド類に一般化する。これは普遍的設定への構成の上昇を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic varieties. First we introduce a natural transformation T_{y}: K_{0}(var/X) -> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration. T_{y} is a homology class version of the motivic measure corresponding to a suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1) and the Todd class transformation in the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0). In fact, T_{y} is the composition of a generalized version of this Todd class transformation due to Yokura, and a new motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total lambda-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves, and the construction of mC_{*} is based on some results from the theory of algebraic mixed Hodge modules due to M.Saito. In the final part of the paper we use the algebraic cobordism theory of Levine and Morel to lift mC_{*} further up to a natural transformation mC'_{*} from K_{0}(var/X) to a suitable universal Borel-Moore weak homology theory. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k, which can be embedded into the complex numbers.

研究の動機と目的

• 特異なリーマン・ローチ定理におけるチャーン＝シュワルツ＝マクフィーソン類とトッド類変換を、パrameter $ y $ でパrameter化された一様な特徴的類の族に統合すること。
• グローテンディーク群のコherent sheaf から代数的コボルドィズムへのモチーフ的チャーン類変換 $ mC_* $ の拡張を実現し、普遍的定式化を達成すること。
• 代数的混合ホッジモジュール理論を用いて、特異多様体の特徴的類のモチーフ的構成を提供すること。
• マクフィーソンの未解決問題である、特異多様体の特徴的類の統一的理論への回答として、$ y $ をパラメータとする自然変換 $ T_y $ を構成すること。

提案手法

• Hodgeモジュール類写像 $ mH $ と順次 de Rham 写像 $ gr^F_{-*}DR $ の合成により、$ mC_*: K_0(\text{var}/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $ を定義する。
• Hirzebruch類変換 $ T_y $ を $ mC_* $ と一般化されたトッド類変換 $ td_{(1+y)} $ の合成として構成し、適切な正規化を保証する。
• 代数的コボルドィズム $ \Omega_* $ の普遍性と滑らかな多様体における同型 $ \omega_* $ を用いて、$ mC_* $ を $ mC'_*: K_0(\text{var}/X) \to \Omega_*(X) \otimes_{\mathbb{L}_*} \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $ に上昇する。
• 次に、次元 $ d $ の滑らかな $ X $ に対して、正規化条件を確立し、$ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $ となるようにする。ここで $ \tilde{\lambda}_y $ は、向き付けられたボレル＝ムーアホモロジー理論における全 $ \lambda $-類である。
• $ G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $ 内の $ \gamma $-フィルトレーションと高次チャーン類を用いて、$ \tilde{\lambda}_y(T^*X) $ を $ \tilde{c}_j(TX) $ の形で表現し、二項係数と $ y $ の累乗による非自明な重み付けが生じることを示す。
• さらに、$ mC'_* $ が射影的プッシュフォワードと可換であり、滑らかな準同型に対してバーディエ・リーマン・ローチ公式を満たすことを証明し、幾何的演算との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの特徴的類変換が、特異なリーマン・ローチ定理におけるチャーン＝シュワルツ＝マクフィーソン類とトッド類変換を統合できるか。
• RQ2 モチーフ的チャーン類は、コherent sheaf から普遍的な代数的コボルドィズム理論 $ \Omega_* $ にどのように拡張できるか。
• RQ3 特異多様体におけるモチーフ的チャーン類の正しい正規化は何か。また、そのコタンジェントバンドルの $ \lambda $-類とどのように関係するか。
• RQ4 高次チャーン類と $ \gamma $-フィルトレーションは、モチーフ的チャーン類およびそのコボルドィズムへの上昇においてどのように相互作用するか。
• RQ5 この構成は、$ k \subset \mathbb{C} $ に値をとる多様体へ一般化可能か。プッシュフォワードと正規化の整合性は保たれるか。

主な発見

• 変換 $ T_y $ は、適切なプッシュフォワードとの整合性と、滑らかな $ X $ に対して $ T_y([\text{id}_X]) = \widetilde{td}_{(y)}(TX) \cap [X] $ という正規化条件によって一意に定まる。これにより、$ y = -1 $ でチャーン類、$ y = 0 $ でトッド類変換が統合される。
• モチーフ的チャーン類変換 $ mC_* $ は、$ gr^F_{-*}DR \circ mH $ の合成として構成され、ここで $ mH $ は多様体 $ f: Y \to X $ を、$ K_0(MHM(X/k)) $ 内のシフトされた定数ホッジモジュール $ f_! \mathbb{Q}_Y^H $ の類へ写像する。
• コボルドィズムへの上昇 $ mC'_* $ は、$ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $ を満たし、$ \tilde{\lambda}_y $ は $ \tilde{c}_j(TX) $ の和として、二項係数と $ y $ の累乗で重み付けされた形に表現される。これは、単純なチャーン類を超える非自明な依存関係を示している。
• 正規化条件は、単に $ \sum \tilde{c}_j(TX) \cdot [X] $ ではなく、補正項 $ \sum_{i=j}^d (-1)^j \binom{d-j}{d-i} y^{i+j-d} $ を含む。これは、$ \gamma $-フィルトレーションの乗法的形式群法則を反映している。
• $ mC'_* $ は外積と可換であり、滑らかな準同型に対してバーディエ・リーマン・ローチ公式 $ \tilde{\lambda}_y(T^*_f) \cdot f^*mC'_* = mC'_*f^* $ を満たす。これにより、プッシュフォワードとの整合性が保証される。
• この構成は、任意の $ k \subset \mathbb{C} $ に値をとる多様体へ拡張可能であり、すべての結果が基底変換のもとで保存される。これにより、モチーフ的設定における強固さと普遍性が示された。