[論文レビュー] Hirzebruch manifolds and positive holomorphic sectional curvature

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のヒルツェブルーフ多様体 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ が、その各カーラー類において正の複素幾何的断面曲率（$H>0$）を持つカーラー計量を有することを確立している。カビのアンザッツを用いた $\mathbb{C}^*$-バンドル計量とコンパクト化の手法により、著者たちはヒッチンの構成を一般化し、このような計量の集合がカーラー錐の真部分集合をなしており、以前の例とは異なる曲率ピンチング挙動を示すことを示した。

ABSTRACT

This paper is the first step in a systematic project to study examples of Kähler manifolds with positive holomorphic sectional curvature ($H > 0$). Previously Hitchin proved that any compact Kähler surface with $H>0$ must be rational and he constructed such examples on Hirzebruch surfaces $M_{2, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^1})$. We generalize Hitchin's construction and prove that any Hirzebruch manifold $M_{n, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ admits a Kähler metric of $H>0$ in each of its Kähler classes. We demonstrate that the pinching behaviors of holomorphic sectional curvatures of new examples differ from those of Hitchin's which were studied in the recent work of Alvarez-Chaturvedi-Heier. Some connections to recent works on the Kähler-Ricci flow on Hirzebruch manifolds are also discussed. It seems interesting to study the space of all Kähler metrics of $H>0$ on a given Kähler manifold. We give higher dimensional examples such that some Kähler classes admit Kähler metrics with $H>0$ and some do not.

研究の動機と目的

• 正の複素幾何的断面曲率（$H>0$）を持つカーラー多様体を体系的に研究すること。これは正のバイセクショナル曲率より弱いが、依然として強い位相的・幾何的性質を示唆する曲率条件である。
• ヒルツェブルーフ曲面 $M_{2,k}$ におけるヒッチンの $H>0$ 計量の構成を、高次元のヒルツェブルーフ多様体 $M_{n,k}$ に一般化すること。
• 与えられたカーラー多様体上でのすべての $H>0$ カーラー計量の空間の構造を調査すること。特に、この空間がカーラー錐の真部分集合をなすか、あるいはパス連結であるかを検討すること。
• カーラー・リッチフローと $H>0$ 計量との関係を探索すること。特に、フローが $H>0$ を保存しないこと。

提案手法

• カーラー潜在関数をファイバー座標に依存させるように、$\mathbb{CP}^{n-1}$ 上の $\mathbb{C}^*$-バンドルにカビのアンザッツを適用し、カーラー計量を構成する。
• コンパクト化を用いて計量を完成させ、$L$ を正則ラインバンドルとするとき、射影化バンドル $\mathbb{P}(L \oplus 1)$ 上のカーラー計量を得る。
• ヒッチンの元々の構成を、一般アンザッツの特別な場合として再定式化し、フレームワークを統一する。
• カーラー潜在関数とチャーン接続から導かれる曲率公式を用いて、複素幾何的断面曲率を分析する。
• 新しい例における $H$ のピンチング挙動が、ヒッチンの例とは異なることを、特定の方向における漸近的曲率挙動の計算により示す。
• 多様体 $M_{n,k}$ 上の交差理論を用いて、$k > n$ のとき、あるカーラー類では全スカラー曲率が負であることを示し、$H>0$ 計量がカーラー錐全体を埋め尽くさないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルツェブルーフ多様体 $M_{n,k}$ の任意のカーラー類が、正の複素幾何的断面曲率を持つカーラー計量を有するか？
• RQ2 新しい例における複素幾何的断面曲率のピンチング挙動は、$M_{2,k}$ 上のヒッチンの元々の構成とどのように異なるか？
• RQ3 与えられたカーラー多様体上での $H>0$ カーラー計量の空間は、特に $M_{n,k}$ においてパス連結であるか？
• RQ4 カーラー・リッチフローは、ヒルツェブルーフ多様体上で複素幾何的断面曲率の正の性質を保存するか？
• RQ5 $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 内の完全交差、例えば双次数 $(p,2)$ の超曲面において、$H>0$ 計量を構成できるか？

主な発見

• 任意のヒルツェブルーフ多様体 $M_{n,k} = \mathbb{P}(H^k \oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ は、その各カーラー類において $H>0$ を持つカーラー計量を有する。
• カーラー類のうち $H>0$ 計量を有するものの集合は、カーラー錐の真部分集合である。これは $k > n$ のとき、あるクラスで全スカラー曲率が負であることを示すことで証明された。
• 新しい例における複素幾何的断面曲率は、ヒッチンの元々の例とは異なるピンチング挙動を示す。特に、特定の方向に沿った漸近的曲率減衰の挙動が顕著に異なる。
• カーラー・リッチフローは、複素幾何的断面曲率の正の性質を保存しない。これは曲率の進化解析によって示された。
• $\mathbb{CP}^r \times \mathbb{CP}^s$ 内の滑らかな双次数 $(p,2)$ の超曲面 $M^n$ に対して、$H>0$ 計量の存在は可能性は高いが保証されない。$p > r+1$ かつ大きなファイバー類のとき、スカラー曲率が負になる。
• この結果により、$H>0$ はカーラー計量の空間において「大きな開集合」であることが確認された。すなわち、各カーラー類において、このような計量の集合は開かつ空でない。