[論文レビュー] Hitchin's Projectively Flat Connection, Toeplitz Operators and the Asymptotic Expansion of TQFT Curve Operators

Jørgen Ellegaard Andersen, Niels Leth Gammelgaard|Mar 24, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、トポロジカル量子場理論（TQFT）の曲線作用素の漸近展開と、モジュライ空間の幾何的量子化におけるHitchinの射影的平坦接続との間の明確な関係を確立する。Toeplitz作用素と微分的スター積を用いた形式的自明化の構成により、TQFT曲線作用素の漸近展開の1次項が得られ、それがAndersen, Mattes, Reshetikhinによって定義されたホロノミー関数上のスター積と一致することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we will provide a review of the geometric construction, proposed by Witten, of the SU(n) quantum representations of the mapping class groups which are part of the Reshetikhin-Turaev TQFT for the quantum group U_q(sl(n, C)). In particular, we recall the differential geometric construction of Hitchin's projectively flat connection in the bundle over Teichmuller space obtained by push-forward of the determinant line bundle over the moduli space of rank n, fixed determinant, semi-stable bundles fibering over Teichmuller space. We recall the relation between the Hitchin connection and Toeplitz operators which was first used by the first named author to prove the asymptotic faithfulness of the SU(n) quantum representations of the mapping class groups. We further review the construction of the formal Hitchin connection, and we discuss its relation to the full asymptotic expansion of the curve operators of Topological Quantum Field Theory. We then go on to identifying the first terms in the formal parallel transport of the Hitchin connection explicitly. This allows us to identify the first terms in the resulting star product on functions on the moduli space. This is seen to agree with the first term in the star product on holonomy functions on these moduli spaces defined by Andersen, Mattes and Reshetikhin.

研究の動機と目的

• Hitchinの射影的平坦接続とTQFT曲線作用素の漸近展開を結ぶ幾何学的・解析的枠組みを確立すること。
• SU(n)の写像類群の量子表現における漸近的忠実性に於いてToeplitz作用素が果たす役割を明確化すること。
• Hitchin接続の形式的平行移動の1次項を計算し、その結果得られるモジュライ空間上のスター積を同定すること。
• 形式的自明化によって得られるスター積が、Andersen, Mattes, Reshetikhinによって定義されたホロノミー関数上の既知のスター積と一致することを示すこと。

提案手法

• ランクn、固定行列式、半安定なバンドルのモジュライ空間上の行列式線束の押し出しにより得られる、テイコフラー空間上のバンドルにおけるHitchinの射影的平坦接続の微分幾何的構成を用いる。
• Toeplitz作用素の理論を適用し、Hitchin接続と量子表現および曲線作用素の漸近展開を関連付ける。
• プランク定数hの形式的べき級数の空間への形式的接続として形式的Hitchin接続を導入する。
• コhomological条件（H¹_Γ(T, D(M)) = 0）の下で、Γ-不変性を保証する形式的Hitchin接続の形式的自明化Pを構成する。
• 自明化を用いて新しいスター積 f ⋆_σ g = P⁻¹_σ(P_σ(f) ⋆̃_σ^{BT} P_σ(g)) を定義し、これがσに依存せずΓ不変であることを示す。
• 等変形式的自明化の1次項を P = Id − h(¼Δ + i∇_{X''_F}) + O(h²) として計算し、O(h²)までの一意的なスター積の同定を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的Hitchin接続は、TQFT曲線作用素の完全な漸近展開とどのように関係しているか？
• RQ2 Hitchin接続の平行移動の漸近展開における1次項の明示的形は何か？
• RQ3 形式的自明化によって得られるスター積は、ホロノミー関数上に既知に定義されたスター積と一致するか？
• RQ4 どのようなコhomological条件下で、形式的Hitchin接続のΓ-不変形式的自明化が存在するか？
• RQ5 Toeplitz作用素は、Hitchin接続とSU(n)量子表現の漸近的忠実性との間をどのように媒介するか？

主な発見

• Hitchin接続の形式的自明化の1次項が明示的に計算され、P = Id − h(¼Δ + i∇_{X''_F}) + O(h²) となる。
• 得られたスター積 f ⋆ g が、テイコフラー空間内の複素構造σに依存せず、写像類群作用に関してΓ不変であることが示された。
• 1次スター積は f₁ ⋆ f₂ = f₁f₂ − ih/2{f₁, f₂} + O(h²) として同定され、ホロノミー関数上のポアソン括弧と一致する。
• 形式的自明化から得られるスター積は、O(h²)までにおいて、Andersen, Mattes, Reshetikhinによって定義されたホロノミー関数上のスター積と一致する。
• この構成により、TQFT曲線作用素の漸近展開が、変数分離を持つ微分的スター積によって支配されることを確認した。1次項はモジュライ空間のケーラー幾何によって一意に定まる。
• H¹_Γ(T, D(M)) = 0 が成り立つとき、グローバルなΓ-不変形式的自明化が存在することが保証され、H¹_Γ(T, C^∞(M)) = 0 かつ D(M)におけるΓの中心化が自明であれば、Γ不変スター積の一意性が従う。