[論文レビュー] HMS for punctured tori and categorical mapping class group actions

Nicolò Sibilla|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ホモロジカルミラー対称性および穴あきトーラスのフューカー計算カテゴリの層的モデルを用いて、射影直線のサイクル上の連続的層の導来カテゴリへの純マッピングクラス群の圏的作用を確立する。ドレイン回転の作用がラインバンドルおよびスカイクラッパー層に対して、バターンの中心拡張を満たし、2個の穴あきトーラスにおけるミラー対称性の予測を実現する。

ABSTRACT

Let X_n be a cycle of n projective lines, and T_n a symplectic torus with n punctures. In this paper we review results appeared in arXiv:1103.2462 and in arXiv:1109.6615, which establish a version of homological mirror symmetry relating X_n and T_n, and define on D^b(Coh(X_n)) an action of the pure mapping class group of T_n.

研究の動機と目的

• 射影直線のサイクルに対する連続的層の導来カテゴリへの純マッピングクラス群の圏的作用を確立すること。
• ミラー対称性フレームワークが、導来カテゴリ上のマッピングクラス群作用の中心拡張を予測することを検証すること。
• 特に2個の穴あきトーラスについて、穴あきリーマン面のフューカーカテゴリのdg層的モデル（CPM）を構成すること。
• 導来カテゴリ上のドレイン回転ファンクターが、期待されるブレッド関係およびG関係を満たし、シンプレクティックマッピングクラス群と一致することを証明すること。
• 球面的ターンファンクターおよびクーヴィー表現を用いて、特異なカーバイ・ヤウ退化におけるミラー対称性の具象的実現を提供すること。

提案手法

• 微小局所層理論および余接 bundle における Nadler-Zaslow の同型に基づき、穴あきリーマン面のラグラジアン骨格上にdgカテゴリの層 CPM を構成する。
• CPM モデルを用いて、穴あきトーラス T_n 上の正確ラグラジアンのフューカーカテゴリのdg強化を定義する。
• T_n に対する CPM モデルのミラー相手として、n 個の射影直線のサイクル X_n 上の連続的層の導来カテゴリ D^b(Coh(X_n)) を実現する。
• 構造層 O およびスカイクラッパー層 κ(x_i) に関連する球面的ターンファンクターを用いて、D^b(Coh(X_n)) 上の自己同型を定義する。
• 純マッピングクラス群が D^b(Coh(X_n)) 上に誘導する作用が、ブレッド関係および中心拡張を伴う修正された G 関係を満たすことを証明する。
• 1次元多様体上の可解層の構成的層の組合せ論およびクーヴィー表現を用いて、カテゴリ Sh(X, Λ_P) 及びそれと X_n 上の連続的層との関係を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あきリーマン面のフューカーカテゴリは、dgカテゴリの層としてどのようにモデル化できるか？
• RQ2 射影直線のサイクル上の連続的層の導来カテゴリは、そのミラーである穴あきトーラスの純マッピングクラス群の作用を受けるか？
• RQ3 D^b(Coh(X_n)) 上の球面的ターンファンクターは、シンプレクティックマッピングクラス群から予想されるブレッド関係およびG関係を満たすか？
• RQ4 純マッピングクラス群の中心拡張が、ミラー対称性の予測と一致する自己同型を介して D^b(Coh(X_n)) 上に作用するか？
• RQ5 ミラー側でのドレイン回転の作用は、ターンファンクターを介して、連続的層側で圏的に実現可能か？

主な発見

• n 個の穴あきトーラス T_n のフューカーカテゴリの CPM モデルは、n 個の射影直線のサイクル X_n 上の連続的層の導来カテゴリと quasi-equivalent である。
• T_n の純マッピングクラス群は、球面的ターンファンクターによって誘導される自己同型を介して、D^b(Coh(X_n)) 上に作用する。
• n=2 の場合、作用は純マッピングクラス群の Z-中心拡張を介して因子化され、G 関係が (T_β1 T_α T_β2)^4 = t^2 として満たされる。
• T_α ↦ T_O および T_βi ↦ T_κ(xi) の割り当ては、D^b(Coh(X_2)) 上の中心拡張へのwell-definedな作用を定義する。
• 作用は構造層およびスカイクラッパー層を保存し、n=2 のとき、誘導される自己同型は自然同型として対合による引き戻しに一致する。
• G 関係は O および κ(xi) 上の作用を計算することで検証され、(T_κ(x1) T_O T_κ(x2))^4 ≅ [2] が成り立ち、中心拡張と一致する。