[論文レビュー] Hochschild (co)homology and Koszul duality

Estanislao Herscovich|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、アダムズ連結で補完されたdg代数とそのコシュール双対の間で、タマリン＝ツィガンの微分積分法的構造の双対性を確立し、コシュール代数のホッフチルドコホモロジーとホモロジーが、それぞれそのコシュール双対のそれと双対であることを示している。また、$A_\infty$-コボル型とねじれコチェーンを用いて、ホッフチルド（コ）ホモロジーの次数付き代数構造を計算する一般的手法を提供しており、$A_\infty$-代数の擬同型を用いることで、マルチコシュール代数や非コシュール代数に対しても結果を拡張している。

ABSTRACT

In this article we discuss two different but related results on Hochschild (co)homology and the theory of Koszul duality. On the one hand, we prove essentially that the Tamarkin-Tsygan calculus of an Adams connected augmented dg algebra and of its Koszul dual are dual. This uses the fact that Hochschild cohomology and homology may be regarded as a twisted construction of some natural (augmented) dg algebras and dg modules over the former. In particular, from these constructions it follows that the computation of the cup product on Hochschild cohomology and cap product on Hochschild homology of a Koszul algebra is directly computed from the coalgebra structure of the Tor(k,k) group (the first of these results is proved differently by R.-O. Buchweitz, E. Green, N. Snashall and O. Solberg). We even generalize this situation by studying twisting theory of A_infinity-algebras to compute the algebra structure of Hochschild cohomology of more general algebras.

研究の動機と目的

• アダムズ連結で補完されたdg代数 $A$ のタマリン＝ツィガン微分積分法的構造とそのコシュール双対の間で双対性を確立すること。
• ホッフチルドコホモロジーの次数付き代数構造を計算する一般的手法を、$A_\infty$-コボル型とねじれコチェーンを用いて提供すること。
• $A_\infty$-代数の擬同型を用いることで、既知のコシュール代数に関する結果を、マルチコシュール代数を含むより一般的な代数へ拡張すること。
• コシュール代数のホッフチルドコホモロジーとホモロジーが、それぞれそのコシュール双対のそれと、ゲルステンハーバー代数およびモジュールとして同型であることを示すこと。
• ホッフチルド（コ）ホモロジーにおけるカップ積とキャップ積の計算を、$\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ のコボル型構造を用いて一般化すること。

提案手法

• 代数 $A$ のホッフチルドコチェーン複体と、$B^+(A)$ に擬同型な最小の補完付き $A_\infty$-コボル型 $C$ に対して、$\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 複体を関係付けるねじれコチェーン $\tau$ の使用。
• $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ と $A$ のホッフチルドコチェーン複体の間で、$A_\infty$-代数の擬同型を構成し、コホモロジーに同型を誘導すること。
• dg代数のねじれを用いて、$A$ を $A$-双モジュールとしての最小の射影的分解と、$C$ 上の $A_\infty$-コボル型構造を関係付けること。
• $C$ の次数付き双対 $C^\#$ を用い、$E(A)$ に同定することで、$HH^\bullet(\cdot)$ と $HH_\bullet(\cdot)^\#$ 間の双対性を可能にすること。
• $C = \operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ が補完付き $A_\infty$-コボル型であり、$A$ がコシュールであれば微分が消えることを利用し、計算を簡略化すること。
• $A_\infty$-構造を $C$ に持ち、$\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 上に誘導される乗法 $m_2$ を用いることで、非コシュール代数に対してもホッフチルドコホモロジーにおけるカップ積の計算を一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシュール代数のホッフチルドコホモロジーの代数構造は、$\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ のコボル型構造からどのように計算できるか？
• RQ2 単純接続性の仮定がなくても、代数とそのコシュール双対の間でタマリン＝ツィガン微分積分法的構造に双対性が存在するか？
• RQ3 ホッフチルド（コ）ホモロジーにおけるカップ積とキャップ積の構造は、$\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 上の $A_\infty$-コボル型構造を用いて計算可能か？
• RQ4 一般の $A_\infty$-コボル型 $C$ に対して、ねじれコチェーン $\tau$ がホッフチルドコチェーン複体と $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ をどのように関係付けるか？
• RQ5 コシュール代数に関する結果は、$A_\infty$-構造を用いて、マルチコシュール代数や非コシュール代数へどのように一般化できるか？

主な発見

• アダムズ連結で補完されたdg代数 $A$ のタマリン＝ツィガン微分積分法的構造とそのコシュール双対 $E(A)$ は双対であり、$HH^\bullet(\cdot)$ と $HH_\bullet(\cdot)^\#$ は、ゲルステンハーバー代数およびモジュールとして双対である。
• $\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ と $A$ のホッフチルドコチェーン複体の間で、$A_\infty$-代数の擬同型が存在し、コホモロジーに次数付き代数の同型を誘導する。
• $HH^\bullet(A)$ 上の次数付き代数構造は、$C$ が $B^+(A)$ に擬同型な最小の補完付き $A_\infty$-コボル型であるとき、$\mathcal{H}om^\tau(C,A)$ 上の乗法 $m_2$ を用いて明示的に計算できる。
• $HH_\bullet(A)$ は、$A_\infty$-双モジュールの擬同型を介して、$A \otimes^\tau C$ のホモロジーと、次数付き $HH^\bullet(A)$-モジュールとして同型である。
• この方法により、[HeL] の $A_\infty$-コボル型の双対を用い、符号の表記の調整を施すことで、[XX] の主要結果の新しい証明が得られる。
• $\operatorname{Tor}_\bullet^A(k,k)$ 上の $A_\infty$-コボル型構造を用いることで、微分が非ゼロであっても、マルチコシュール代数やより一般的な代数にこの枠組みを適用可能である。