[論文レビュー] Hochschild cohomology of quantized symplectic orbifolds and the Chen-Ruan cohomology

Vasiliy Dolgushev, Pavel Etingof|ArXiv.org|Oct 26, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ギンツブルグ＝カレディン予想の加法的版を証明し、シンプレクティック多様体 $ X $ 上の $ G $-安定な量子化代数の不変量 $ A^G $ のホッホシュタインコホロジーと、係数 $ \mathbb{C}((\hbar)) $ を持つ軌道多様体 $ X/G $ のチェン＝ルアンコホロジーとの間に同型を確立する。この結果はヴァン・デン・ベルク双対性、ねじれ群代数のホッホシュタイン（コ）コホロジーの分解、および固定点部分多様体のデ・ラームコホロジーを用いた固定点コホロジー表現を通じて得られる。

ABSTRACT

We prove the additive version of the conjecture proposed by Ginzburg and Kaledin. This conjecture states that if X/G is an orbifold modeled on a quotient of a smooth affine symplectic variety X (over C) by a finite group G\subset Aut(X) and A is a G-stable quantum algebra of functions on X then the graded vector space HH(A^G) of the Hochschild cohomology of the algebra A^G of invariants is isomorphic to the graded vector space H_{CR}(X/G)((h)) of the Chen-Ruan (stringy) cohomology of the orbifold X/G.

研究の動機と目的

• ギンツブルグとカレディンが予想したように、量子不変量代数 $ A^G $ のホッホシュタインコホロジーと軌道多様体 $ X/G $ のチェン＝ルアンコホロジーとの間に同型を確立すること。
• ホッホシュタインチェーンのフォーマリティ定理に依存せずに、この予想の加法的版を証明すること。
• 変形理論の枠組みを、シンプレクティック反射代数のグローバルアナログを構成することで軌道多様体へと拡張すること。
• 特に codimension-2 固定点集合に注目して、$ A^G $ の変形空間を幾何的および群論的データの観点から特徴づけること。

提案手法

• ホッホシュタインコホロジーとホモロジーの関係を $ \hbar $-adic 位相においてヴァン・デン・ベルク双対性を用いて確立する。
• 群作用の構造を活用して、ねじれ群代数 $ A[G] $ のホッホシュタイン（コ）コホロジーに対する分解定理を適用する。
• 群元 $ g \in G $ による固定点部分多様体 $ X_g^Q $ のデ・ラームコホロジーを用いて、ねじれ双加群におけるホッホシュタインホモロジーを表現する。
• 固定点部分多様体上の微分形式の二重複体において、群作用と可換なホモトピー作用素を用いて明示的なサイクルを構成する。
• スペクトル系列の議論を用いて、正則性を示し、ファイバーコホロジーにおける $ \mathfrak{b} $-閉代表元を構成する。
• 量子代数における位相的構造を扱うために、ホッホシュタイン複体におけるテンソル積の $ \hbar $-adic 完備化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子不変量 $ A^G $ のホッホシュタインコホロジーと軌道多様体 $ X/G $ のチェン＝ルアンコホロジーとの間に自然な同型が存在するか？
• RQ2 ホッホシュタインチェーンのフォーマリティ定理を用いずに、この同型を確立できるか？
• RQ3 ホッホシュタインコホロジー $ HH^\bullet(A^G) $ のコホロジー成分の幾何的起源は何か、特に $ G $ の固定点部分多様体とどのように関係しているか？
• RQ4 変形理論としての $ A^G $ の性質は、特にシンプレクティック反射が存在する場合の $ X/G $ の軌道多様体幾何とどのように関係しているか？
• RQ5 $ A^G $ の変形空間は、$ X $ の $ G $-不変コホロジー的データのみで記述可能か？

主な発見

• ホッホシュタインコホロジー $ HH^\bullet(A^G) $ はチェン＝ルアンコホロジー $ H^\bullet_{CR}(X/G, \mathbb{C}((\hbar))) $ に同型であり、ギンツブルグ＝カレディン予想の加法的版が確認された。
• フォーマリティ定理を用いずに、ヴァン・デン・ベルク双対性と固定点部分多様体における明示的サイクル構成に依拠して同型が構成された。
• コホロジー $ A^G $ は各共轭類 $ g \in G $ からの寄与に分解され、特に codimension-2 固定点集合 $ X_g^Q $ からの $ H^\bullet(X_g^Q) $ の成分が寄与する。
• 変形空間 $ H^2(A^G) $ は $ H^2_{CR}(X/G) $ に同型であり、これは $ H^2(X)^G \oplus \bigoplus_{g \in G, \operatorname{codim} X_g^Q = 2} H^0(X_g^Q)^{Z(g)} $ に分解され、係数は $ \mathbb{C}((\hbar)) $ である。
• $ H^3(X)^G $ および $ H^1(X_g^Q)^{Z(g)} $ が消える条件の下で、$ A^G $ の変形は障害なしであることが示され、$ H^2(A^G) $ をパrameterとする普遍的な形式的変形が存在することが示された。
• 結果は、有理型およびシンプレクティック反射代数を、より広いクラスの軌道多様体へ一般化し、『$ X,G $ のシンプレクティック反射代数』という概念を導入した。