[論文レビュー] Hochschild Cohomology versus De Rham Cohomology without Formality Theorems

Vasiliy Dolgushev|ArXiv.org|May 10, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、フォーマリティ定理を用いずに、フェドソフ＝ウエインシュタイン＝シュー解体を用いて、シンプレクティック多様体上の関数の量子代数のホッホシュイルドコホモロジー環と、$\mathbb{C}((\hbar))$ に係数をとるデ・ラームコホモロジー環との間に同型を確立する。主な結果は、デ・ラームコホモロジーに誘導されるゲルステンハーバー括弧が消えることであり、シンプレクティックな場合の構造の消えている性質を確認する。

ABSTRACT

We exploit the Fedosov-Weinstein-Xu (FWX) resolution proposed in q-alg/9709043 to establish an isomorphism between the ring of Hochschild cohomology of the quantum algebra of functions on a symplectic manifold M and the ring H(M, C((h))) of De Rham cohomology of M with the coefficient field C((h)) without making use of any version of the formality theorem. We also show that the Gerstenhaber bracket induced on H(M,C((h))) via the isomorphism is vanishing. We discuss equivariant properties of the isomorphism and propose an analogue of this statement in an algebraic geometric setting.

研究の動機と目的

• フォーマリティ定理に依存せずに、シンプレクティック多様体上の関数の量子代数のホッホシュイルドコホモロジーと、$\mathbb{C}((\hbar))$ に係数をとるデ・ラームコホモロジーの間の環同型を確立すること。
• この同型を通じて誘導されるゲルステンハーバー括弧が、デ・ラームコホモロジー上で自明（消える）ことを示すこと。
• 同型がシンプレクティック変換の下でどのように不変であるかを解析し、結果を代数的幾何的設定に拡張すること。
• フォーマリティ定理のより複雑なホモトピー論的技法とは対照的に、シンプレクティックな場合のコホモロジー同型に対して簡潔で直接的な証明を提供すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体上の関数の量子代数のホッホシュイルドコチェーン複体のフェドソフ＝ウエインシュタイン＝シュー（FWX）解体を用いる。
• FWX解体を用いて、ホッホシュイルドコチェーン複体と、$\mathbb{C}((\hbar))$ に係数をとるデ・ラーム複体との間の準同型を構成する。
• この同型を通じて、ホッホシュイルドコホモロジーのカップ積構造が、デ・ラームコホモロジーにおける外積に対応することを証明する。
• 同型の代数的構造を分析することにより、デ・ラームコホモロジーに誘導されるゲルステンハーバー括弧が消えることを示す。
• ホッホシュイルド複体の形式的ウェイル代数に対する、$GL(2n,\mathbb{C})$-作用と整合する等長ホモトピー作用素を導入する。
• スペクトル系列の技法とホモロジー代数を用いて、ウェイル代数のホッホシュイルドコホモロジーを計算し、それが次数 0 で $\mathbb{C}((\hbar))$、それ以外では 0 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーマリティ定理を用いずに、ホッホシュイルドコホモロジーとデ・ラームコホモロジーの間の同型を確立できるか？
• RQ2 ホッホシュイルド-デ・ラーム同型を通じて引き戻されたとき、デ・ラームコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧の代数的構造は何か？
• RQ3 コホモロジー同型およびその代数的構造は、シンプレクティック微分同相写像や $GL(2n,\mathbb{C})$-作用の下でどのように振る舞うか？
• RQ4 この同型は、シンプレクティック構造を持つ代数的多様体のような代数的幾何的設定に一般化できるか？

主な発見

• フォーマリティ定理を用いずに、FWX解体を用いることで、シンプレクティック多様体上の関数の量子代数のホッホシュイルドコホモロジー環は、$\mathbb{C}((\hbar))$ に係数をとるデ・ラームコホモロジー環と同型である。
• この同型を通じて誘導されるデ・ラームコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧は恒等的に 0 であり、自明なリーアルゲブラ構造を示している。
• 同型は $GL(2n,\mathbb{C})$ の作用と整合しており、証明で用いられたホモトピー作用素は $GL(2n,\mathbb{C})$-等長である。
• 形式的ウェイル代数 $W$ のホッホシュイルドコホモロジーは、次数 0 で $\mathbb{C}((\hbar))$、それ以外では 0 であり、明示的なホモトピー作用素が構成されている。
• 同型を通じて、ホッホシュイルドコホモロジーのカップ積は、デ・ラームコホモロジーにおける外積に正確に対応し、環構造が保存されている。