[論文レビュー] Hochschild Lefschetz Class for $D$-modules

Ajay C. Ramadoss, Xiang Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpact複素多様体上の$\mathcal{D}$-加群に対してHochschild Lefschetz類を導入し、群作用を介してHochschild類を等長的設定に一般化する。直接像の整合性を確立し、$\Gamma$-等長的$\mathcal{D}$-加群に対してオービフォールドRiemann-Roch公式を証明し、オービフォールドチゼン・キャラクター、正規束のオイラー類、およびインertieオービフォールドのTodd類を用いてオイラー類を表現する。

ABSTRACT

We introduce a notion of Hochschild Lefschetz class for a good coherent D-module on a compact complex manifold, and prove that this class is compatible with the direct image functor. We prove an orbifold Riemann-Roch formula for a D-module on a compact complex orbifold.

研究の動機と目的

• 複素多様体への群作用を含む等長的設定にHochschild類を一般化すること。
• 正則群作用下での$\mathcal{D}$-加群に対するHochschild Lefschetz類を定義し、Kashiwara-Schapiraの構成を拡張すること。
• Hochschild Lefschetz類が直接像関手と整合することを確立すること。
• コンパクト複素オービフォールド上の$\Gamma$-等長的な整合的$\mathcal{D}$-加群に対してオービフォールドRiemann-Roch公式を導出すること。
• 新しく定義されたオービフォールドHochschild類が、交叉積代数$\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$を介して定義された抽象的類と同倣することを示すこと。

提案手法

• 群作用$\gamma$が$M$上で正則微分同相であるとき、$H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$におけるHochschild Lefschetz類$hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$を定義し、標準Hochschild類を一般化する。
• $hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$を$\iota_!({\mathbb{C}}_{X^\gamma}[\dim(X^\gamma)])$への準同型写像の像としてLefschetz類を構成する。
• $X = T^*M$上の形式的微分作用素の層$\widehat{\mathcal{E}}_X$を用いた微小局所的技法を用いる。
• 群$\Gamma$-等長的$\mathcal{D}$-加群$\mathcal{M}$に対して、オービフォールドHochschild類を$\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$として定義する。
• Bressler-Nest-Tsyganの技法を用いて、この類が$\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-加群から生じる類と同値であることを証明する。
• 正則設定における局在化およびチゼン・キャラクター技法を適用し、オービフォールドRiemann-Roch公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体への群作用を含む等長的設定において、$\mathcal{D}$-加群のHochschild類はどのように拡張可能か？
• RQ2 等長的文脈において、Hochschild Lefschetz類は直接像関手に対してどのように振る舞うか？
• RQ3 群元の和を用いて定義されたオービフォールドHochschild類は、交叉積代数を介して定義された抽象的類とどのように関係するか？
• RQ4 コンパクト複素オービフォールド上の$\Gamma$-等長的$\mathcal{D}$-加群のオイラー類に対するRiemann-Roch公式の形は何か？
• RQ5 オービフォールドRiemann-Roch公式は、オービフォールドチゼン・キャラクター、正規束のオイラー類、およびインセントリオービフォールドのTodd類を用いて表現可能か？

主な発見

• Hochschild Lefschetz類$hh^\gamma(\mathcal{M}, u)$は$H^0(X, \mathcal{H}\mathcal{H}(\widehat{\mathcal{E}}_X, \widehat{\mathcal{E}}_X^\gamma))$に正しく定義されており、$\gamma = \mathrm{id}$のとき標準Hochschild類に還元される。
• Hochschild Lefschetz類は直接像関手と整合する。これは標準Hochschild類の性質を一般化する。
• 群$\Gamma$の和を用いて定義されたオービフォールドHochschild類$\frac{1}{|\Gamma|}\sum_{\gamma \in \Gamma} hh^\gamma(\mathcal{M}, \gamma)$は、$\mathcal{D}_M \rtimes \Gamma$-加群から定義された類と同値である。
• オービフォールドRiemann-Roch公式によるオイラー類は、$\mathrm{eu}_Q(\mathcal{M}) = \left(\frac{1}{m} \mathrm{ch}_Q(\sigma_{\mathrm{char}(\mathcal{M})}(\mathcal{M})) \wedge \mathrm{eu}_Q(N) \wedge \pi_M^*Td(IQ_M)\right)_{\dim(IQ_X)}$で与えられ、ここで$IQ_X$はインセントリオービフォールドである。
• 証明は、正則版の局在化およびチゼン・キャラクターの道具立てに依拠しており、$\widehat{\mathcal{W}}_X(0)$の特徴的類は$\frac{1}{\hbar}\omega + \frac{1}{2}\pi_M^*c_1(TX)$で与えられ、代数的設定での既知の結果と一致する。