[論文レビュー] Hochschild products and global non-abelian cohomology for algebras. Applications

A. L. Agore, G. Militaru|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、与えられた全単射線形写像 $\pi: E \to A$ が代数準同型となるように、ベクトル空間 $E$ 上のすべての単位的結合的代数構造を分類するため、グローバル非アーベルコホモロジー対象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ を導入する。このような代数はすべて一般化されたホッジャード積 $A \star V$ に同型であり、その自己同型群は半直積の部分群として記述され、ポアソン代数や超可解余代数への応用が得られる。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital associative algebra over a field $k$, $E$ a vector space and $π: E o A$ a surjective linear map with $V = { m Ker} (π)$. All algebra structures on $E$ such that $π: E o A$ becomes an algebra map are described and classified by an explicitly constructed global cohomological type object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$. Any such algebra is isomorphic to a Hochschild product $A \star V$, an algebra introduced as a generalization of a classical construction. We prove that ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, V)$ is the coproduct of all non-abelian cohomologies ${\mathbb H}^{2} \, \, (A, \, (V, \cdot))$. The key object ${\mathbb G} {\mathbb H}^{2} \, (A, \, k)$ responsible for the classification of all co-flag algebras is computed. All Hochschild products $A \star k$ are also classified and the automorphism groups ${ m Aut}_{ m Alg} (A \star k)$ are fully determined as subgroups of a semidirect product $A^* \, \ltimes \bigl(k^* imes { m Aut}_{ m Alg} (A) \bigl)$ of groups. Several examples are given as well as applications to the theory of supersolvable coalgebras or Poisson algebras. In particular, for a given Poisson algebra $P$, all Poisson algebras having a Poisson algebra surjection on $P$ with a $1$-dimensional kernel are described and classified.

研究の動機と目的

• 単位的結合的代数のグローバル拡張問題を解くこと、すなわち、固定された全射 $\pi: E \to A$ が代数準同型となるようなベクトル空間 $E$ 上のすべての代数構造を分類すること。
• このような拡張を分類する新しいグローバルコホモロジー的対象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ を導入し、その特徴づけを行うこと。
• すべてのこのような代数がホッジャード積 $A \star V$ に同型であることを示し、古典的構成を一般化すること。
• これらの代数の自己同型群を $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ の部分群として計算し、構造的記述を与えること。
• この枠組みを、3次元ヘイゼンベルク・ポアソン代数への全射写像をもつ4次元ポアソン代数を分類することに応用し、$\omega, \tau \in k$ をパrameterとする無限族を含む。

提案手法

• 代数構造のグローバル拡張問題を、$\pi: E \to A$ が全単射代数準同型となるような $E$ 上のすべての結合的代数構造を分類する問題として定式化する。ここで $V = \ker(\pi)$ は固定されたベクトル空間である。
• 代数構造が変化するすべての非アーベルコホモロジー $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ の直和として、グローバルコホモロジー対象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ を構成する。
• すべてのこのような拡張を実現する普遍的構成としてホッジャード積 $A \star V$ を導入する。
• 自己同型の明示的整合性条件を導出し、自己同型の集合に群構造を与える。
• $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ が $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ の部分群に埋め込まれることを証明し、特定の乗法則を指定する。
• ポアソン代数に応用するため、コフラグデータを構成し、3次元ヘイゼンベルク・ポアソン代数への1次元核をもつすべての4次元ポアソン代数を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間 $E$ 上のすべての単位的結合的代数構造を、固定された全射 $\pi: E \to A$ が代数準同型となるように分類するにはどうすればよいか？
• RQ2 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ というグローバルコホモロジー的対象が、このような代数拡張を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ホッジャード積 $A \star V$ が、すべてのこのような拡張の普遍的モデルとしてどのように機能するか？
• RQ4 与えられた代数 $A$ に対して、自己同型群 $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ の構造は何か？
• RQ5 この枠組みを、与えられたポアソン代数への全射写像と1次元核をもつポアソン代数を分類することにどのように応用できるか？

主な発見

• 代数準同型となるような $E$ 上のすべての代数構造の集合は、グローバルコホモロジー的対象 $\mathbb{G}H^2(A,V)$ によって分類され、これはすべての非アーベルコホモロジー $\mathbb{H}^2(A, (V, \cdot))$ の直和である。
• すべてのこのような代数はホッジャード積 $A \star V$ に同型であり、これは古典的拡張構成を一般化する。
• $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A \star k)$ は $A^* \ltimes (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Alg}}(A))$ の部分群に同型であり、特定の乗法則をもつ。
• 3次元ヘイゼンベルク・ポアソン代数 $\mathcal{H}(3,k)$ に対して、$\mathcal{H}(3,k)$ への全射写像をもつ4次元ポアソン代数は、同型型としてちょうど5種類存在し、そのうち2つは $\omega, \tau \in k$ をパrameterとする無限族 $P_4^\omega$ および $P_5^\tau$ を含む。
• 各々のポアソン代数 $P_{(\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f)}$ の自己同型群は、定義された乗法をもつ群 $\mathcal{GP}(P, (\lambda,\Lambda,\vartheta,\gamma,f))$ に同型であり、$P^* \ltimes_\zeta (k^* \times \mathrm{Aut}_{\mathrm{Poss}}(P))$ への単射群準同型をもつ。
• $\mathcal{H}(3,k)$ への全射写像をもつ4次元ポアソン代数で、核の次元が1であるものの分類は、連続的パrameter $\omega$ と $\tau$ のため、無限に多くの同型型をもつが、同じ性質をもつ結合的代数は有限個しか存在しない。