[論文レビュー] Hochschild-Witt complex

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特性 $p$ の完全体上の非可換代数に対して、ホモロジー的構成としての Hochschild-Witt 複体 $WCH_{\bullet}(A)$ を導入し、Hesselholt の Witt ベクトルと de Rham-Witt 複体の両方を一般化する。トレース理論と循環ホモロジー形式を用いて、次数 0 のホモロジーが Hesselholt の Witt 群を回復し、Hochschild-Kostant-Rosenberg の設定では de Rham-Witt 複体を回復することを確立する。

ABSTRACT

In arxiv:1602.04254, we have defined polynomial Witt vectors functor from vector spaces over a perfect field $k$ of positive characteristic $p$ to abelian groups. In this paper, we use polynomial Witt vectors to construct a functorial Hochschild-Witt complex $WCH_*(A)$ for any associative unital $k$-algebra $A$, with homology groups $WHH_*(A)$. We prove that the group $WHH_0(A)$ coincides with the group of non-commutative Witt vectors defined by Hesselholt, while if $A$ is commutative, finitely generated, and smooth, the groups $WHH_i(A)$ are naturally identified with the terms $WΩ^i_A$ of the de Rham-Witt complex of the spectrum of $A$.

研究の動機と目的

• 特性 $p$ の体上の代数に対して、非可換な $p$-typical Witt ベクトルと de Rham-Witt 複体の一般化を Hochschild ホモロジーを用いて構成すること。
• 特性 $p$ の完全体上の結合代数 $A$ に対して、関手的 Hochschild-Witt 複体 $WCH_{\bullet}(A)$ を定義すること。
• 複体 $WCH_{\bullet}(A)$ の次数 0 ホモロジーとして Hesselholt の Witt ベクトル群 $W(A)$ を回復すること。
• Hochschild-Kostant-Rosenberg の設定において、複体 $WCH_{\bullet}(A)$ を用いて de Rham-Witt 複体を回復すること。
• トポロジカルな循環ホモロジー もしくは スペクトルに依存しない、自己完結的なホモロジー的枠組みを Hochschild-Witt 複体に提供すること。

提案手法

• 代数 $A$ と $A$-双加法的モジュール $M$ に対して、[K2] からのトレース理論を基盤として、二変数 Hochschild-Witt ホモロジー $WHH_{\bullet}(A,M)$ を構成する。
• 基本体 $k$ に対して定義した後、循環圏 $\Lambda$ 上の関手の理論を活用して、一般のマシンを用いて $WHH_{\bullet}(A,M)$ を構成する。
• Connes の循環形式を用いて、循環ホモロジーの線形代数的枠組みを構築し、$\Lambda$ 上の複体に焦点を当てる。
• $\mathbb{K}^{(n)}(A^\natural)$ と $\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural)$ を結ぶために、標準的写像 $\nu_{p^n}$ 及びその性質を用いる。写像 $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$ を導入する。
• 写像 $\eta$ に伴う長完全系列を解析し、接続微分が消えることを示し、$\eta$ の核と余核を同定する。
• $\operatorname{Ker} \nu_{p^n} \cong B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$ および $\operatorname{Coker} \nu_{p^n} \cong Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$ の同型を用いて、$HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$ の構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 $p$ の完全体上の結合代数に対して、完全にホモロジー的構成としての Hochschild-Witt 複体を定義できるか？
• RQ2 この複体の次数 0 ホモロジーが Hesselholt の Witt ベクトル群 $W(A)$ を回復するか？
• RQ3 滑らかな可換な場合に、この複体が de Rham-Witt 複体を回復するか？
• RQ4 トポロジカルな循環ホモロジー もしくは スペクトルに依存せずに、この構成を実行できるか？
• RQ5 循環ホモロジーとトレース写像の観点から、Hochschild-Witt 複体の構造は何か？

主な発見

• Hochschild-Witt 複体 $WCH_{\bullet}(A)$ の次数 0 ホモロジー群 $WHH_0(A)$ は、Hesselholt の Witt ベクトル群 $W(A)$ に同型である。
• Hochschild-Kostant-Rosenberg の設定において、複体 $WCH_{\bullet}(A)$ は Deligne と Illusie の de Rham-Witt 複体を回復する。
• $\eta = \nu_{p^n} \oplus (B \circ \nu_{p^n})$ は全射であり、その核は $Z\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]$ から $B\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)$ への拡張である。
• 写像 $\eta$ に由来する長完全系列における接続微分は消え、$HC_\bullet(\operatorname{Coker} \eta) \to HC_{\bullet-1}(\operatorname{Ker} \eta)$ は 0 である。
• $HC_\bullet(\mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural) \oplus \mathbb{K}^{(n)}_\bullet(A^\natural)[1]) \to HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$ への誘導写像は全射であり、その核は $HC_\bullet(\operatorname{Ker} \eta)$ であり、これは $B_nHH_\bullet(A)$ から $Z_nHH_{\bullet-1}(A)$ への拡張である。
• $\overline{M}_n^{\bullet} \cong HC_\bullet(\mathbb{K}_\bullet(\pi_{p^n!}i_{p^n}^*A^\natural))$ は $HH_\bullet(A) \oplus HH_{\bullet-1}(A)$ に同型であり、写像 $\eta$ の核が関連する拡張データを捉えている。