[論文レビュー] Co-periodic cyclic homology

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正標数における制限 de Rham 共通同調論に関する Beilinson と Bhatt の最近の研究に触発され、周期的循環的二重複体の和全化（sum-totalization）をとることにより、循環的同調論の新しい変種として共周期的循環的同調論を導入する。主な貢献は、Bhatt の制限 de Rham 共通同調論における共役スペクトル系列に類似した、共周期的循環的同調論の共役スペクトル系列の構成であり、正標数の設定において両理論の深い類似性を示唆している。

ABSTRACT

Following an old suggestion of M. Kontsevich, and inspired by recent work of A. Beilinson and B. Bhatt, we introduce a new version of periodic cyclic homology for DG agebras and DG categories. We call it co-periodic cyclic homology. It is always torsion, so that it vanishes in char 0. However, we show that co-periodic cyclic homology is derived-Morita invariant, and that it coincides with the usual periodic cyclic homology for smooth cohomologically bounded DG algebras over a torsion ring. For DG categories over a field of odd positive characteristic, we also establish a non-commutative generalization of the conjugate spectral sequence converging to our co-periodic cyclic homology groups.

研究の動機と目的

• 周期的循環的二重複体を再解釈するにあたり、積全化（product-totalization）の代わりに和全化（sum-totalization）を用いることで、循環的同調論の新しい理論を構築すること。
• この新しい理論が正標数においてどのような意味を持つのかを検討し、特に de Rham 共通同調論および $p$-adic Hodge 理論とどのように関係するかを明らかにすること。
• Beilinson と Bhatt が研究した制限 de Rham 共通同調論と、共周期的循環的同調論との間の形式的な類似性を確立すること。
• 共周期的循環的同調論に対しても、Hodge から de Rham へのスペクトル系列に類似した同型が存在するかどうかを調査すること。
• 共周期的循環的同調論が、$p$-adic Hodge 理論における周期環 $A_{\text{cris}}$ を回復できる可能性を評価すること。

提案手法

• 本稿では、周期的循環的二重複体 $CP_{\bullet,\bullet}(A)$ の和全複体のホモロジーとして共周期的循環的同調論を構成し、標準的な積全化とは対照的に扱う。
• フィルター付きおよびミックスド複体の技術を用い、特に縁の分割（edgewise subdivision）や射影を用いて二重複体の構造を分析する。
• 単体的解体を用いて代数の導来 de Rham 共通同調論を定義し、その結果得られる二重複体の和全化に注目する。
• 共周期的循環的同調論に対して、Bhatt の制限 de Rham 共通同調論における共役スペクトル系列に類似した共役スペクトル系列を導出する。
• この枠組みを $\overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ のような $p$-adic 代数に適用し、共周期的ホモロジーの導来逆極限が $A_{\text{cris}}$ を回復すると予想される。
• 本稿では、標準的な周期的循環的同調論と比較し、解体における生成子の選択依存性によって生じる自然な同型の障害についても議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的循環的二重複体の和全化は、古典的期待とは対照的に、正標数において意味的かつ非自明なホモロジー理論をもたらすのか？
• RQ2 共周期的循環的同調論に対して、Bhatt の制限 de Rham 共通同調論における共役スペクトル系列に類似した共役スペクトル系列が存在するか？
• RQ3 共周期的循環的同調論を $\overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ に適用した場合、$p$-進的に完備化することで周期環 $A_{\text{cris}}$ を回復できるのか？
• RQ4 なぜ共周期的循環的同調論と制限 de Rham 共通同調論との間の自然な同型が、単体的面写像および縮約写像と可換でないのか？
• RQ5 この新しい理論は、Beilinson と Bhatt の $p$-adic Hodge 理論における結果とどの程度類似しているのか？

主な発見

• 周期的循環的二重複体の和全化は、正標数において非自明なホモロジー理論をもたらし、共周期的循環的同調論と呼ばれる循環的同調論の新しい変種を提供する。
• 共周期的循環的同調論に対して、Bhatt の制限 de Rham 共通同調論における共役スペクトル系列に類似した共役スペクトル系列が構成された。
• $A = \overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ の共周期的循環的同調論は、$\overline{HP}_\bullet(A) \cong \overline{H}^\bullet_{DR}(A)((u^{-1}))$ を満たすと予想され、de Rham 共通同調論と深い類似性を示唆する。
• $A_n = \overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ に対する $\overline{HP}_\bullet(A_n)$ の導来逆極限は、Fontaine の結晶的周期環 $A_{\text{cris}}$ を回復すると予想されるが、これはまだ未解決のままである。
• 理論は Beilinson と Bhatt の制限 de Rham 共通同調論と形式的に類似しているが、生成子の選択依存性により、共周期的循環的同調論と制限 de Rham 共通同調論との間の自然な同型は単体的構造と可換でない。
• 完全な同型が存在しないにもかかわらず、スペクトル系列および構造的類似性から、正標数における両理論の強い概念的関係が示唆される。