[論文レビュー] Hodge correlators

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、フェルミオン積分の周期としてのホッジ相関関数を導入し、その周期がこれらのホッジ相関関数を回復するモチーフ的リー代数内のモチーフ的相関関数を定義する。ホッジ相関関数が、曲線上の実混合ホッジ構造の変動を記述する-twistor接続の係数として生じることを確立し、古典的ポリログおよびランキン＝セールバーグ積分をモチーフ的枠組みの中で統一的に扱う。

ABSTRACT

Hodge correlators are complex numbers given by certain integrals assigned to a smooth complex curve. We show that they are correlators of a Feynman integral, and describe the real mixed Hodge structure on the pronilpotent completion of the fundamental group of the curve. We introduce motivic correlators, which are elements of the motivic Lie algebra and whose periods are the Hodge correlators. They describe the motivic fundamental group of the curve. We describe variations of real mixed Hodge structures on a variety by certain connections on the product of the variety by an afine line. We call them twistor connections. Generalising this, we suggest a DG enhancement of the subcategory of Saito's Hodge complexes with smooth cohomology. We show that when the curve varies, the Hodge correlators are the coefficients of the twistor connection describing the corresponding variation of real MHS. Examples of the Hodge correlators include classical and elliptic polylogarithms, and their generalizations. The simplest Hodge correlators on the modular curves are the Rankin-Selberg integrals. Examples of the motivic correlators include Beilinson's elements in the motivic cohomology, e.g. the ones delivering the Beilinson - Kato Euler system on modular curves.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素曲線上の積分から生じる複素数としてのホッジ相関関数を定義すること。
• ホッジ相関関数とフェルミオン積分との間の関係を確立し、数学的物理とホッジ理論を結びつけること。
• その周期がホッジ相関関数に一致するモチーフ的リー代数内のモチーフ的相関関数を導入し、それによってモチーフ的基本群を記述すること。
• 代数的多様体上の実混合ホッジ構造の変動を、多様体とアフィン直線の積上のtwistor接続を用いて一般化すること。
• 滑らかなコホモロジーを有する斎藤のホッジ複体の部分圏のDG強化を提案し、モチーフ的およびホッジ的構成の枠組みを拡張すること。

提案手法

• 滑らかな複素曲線上の特定の積分としてホッジ相関関数を定義し、フェルミオン振幅構造と関連付ける。
• 曲線の基本群のプロニルポテンツ完成を構成し、その実混合ホッジ構造を記述する。
• 周期がホッジ相関関数に一致するモチーフ的相関関数をモチーフ的リー代数の要素として導入する。
• 多様体とアフィン直線の積上の接続としてtwistor接続を定義し、実混合ホッジ構造の変動を一般化する。
• 滑らかなコホモロジーを有する斎藤のホッジ複体の部分圏のDG強化を開発し、より高次のホモトピー的およびモチーフ的データを捉える。
• 曲線が変化するとき、ホッジ相関関数が実MHSの変動を符号化するtwistor接続の係数として現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな複素曲線上のホッジ相関関数は、どのようにフェルミオン積分の係数として解釈できるか？
• RQ2 モチーフ的相関関数は、曲線のモチーフ的基本群を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 twistor接続は、代数的多様体上の実混合ホッジ構造の変動をどのように符号化するか？
• RQ4 ホッジ相関関数は、古典的および楕円的ポリログ関数をどのように一般化するか？
• RQ5 モチーフ的相関関数は、ベイリンソンの要素やベイリンソン＝カトウのEuler系といった既知のモチーフ的コホモロジーの要素とどのように関係するか？

主な発見

• ホッジ相関関数が、曲線上の実混合ホッジ構造の変動を記述するtwistor接続の係数として生じることが示された。
• 周期が正確にホッジ相関関数に一致するモチーフ的リー代数内の要素としてモチーフ的相関関数が定義され、基本群のモチーフ的上昇が得られた。
• 構成により、古典的ポリログおよび楕円的ポリログ関数がホッジ相関関数の特別な場合として統一的に扱えるようになった。
• モジュラー曲線上の最も単純なホッジ相関関数は、ランキン＝セールバーグ積分として同定され、自動形式とホッジ理論が結びつけられた。
• ベイリンソンのモチーフ的コホモロジーにおける要素、特にモジュラー曲線上のベイリンソン＝カトウのEuler系を形成する要素が、すべてモチーフ的相関関数として実現された。
• 本稿では、滑らかなコホモロジーを有する斎藤のホッジ複体のDG強化が提供され、モチーフ的およびホッジ的解析のための導来的強化された圏を可能にした。