[論文レビュー] Hodge cycles on some moduli spaces

Donu Arapura|ArXiv.org|Feb 8, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線および曲面上の層のモジュライ空間に対してホッジ予想および一般化されたホッジ予想が成り立つことを、それらの予想が基本的多様体の冪上でも成り立つことに帰着することで検証する。主な結果として、双曲的次元がゼロである曲面の点のヒルベルトスキームに対してホッジ予想が成り立ち、曲線上の安定バンドルのモジュライ空間に対しては、ヤコビアンの冪上で予想が成り立つ場合にその予想が成立することが示され、算術的設定におけるテート予想に対しても類似の結果が得られる。

ABSTRACT

The goal is to verify the Hodge conjecture (and some related conjectures) for certain moduli spaces. It is shown that the (generalized) Hodge conjecture holds for the projective moduli spaces of vector bundles over an abelian or K3 surface or a curve if it holds for all powers of the surface or curve. In the latter case, the curve can be replaced by its Jacobian. As a consequence the generalized Hodge conjecture holds for these moduli spaces when the curve is very general. A similar result is proved for the Hilbert schemes of points over an arbitrary surface.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的である滑らかな代数曲線上の安定ベクトルバンドルのモジュライ空間に対してホッジ予想および一般化されたホッジ予想を確立すること。
• 特にアーベル面およびクラスマー面を含む曲面上の半安定被覆的自由層のモジュライ空間へこれらの結果を拡張すること。
• 曲面のヒルベルトスキームにおけるホッジ予想が、その曲面のすべての冪上で成り立つならば成り立つことを示すこと。
• 算術的類似物として、これらのモジュライ空間に対してテート予想およびホッジサイクルの絶対性を検証すること。

提案手法

• 適切なファイバーを備えた支配的で、階層的またはファイバー構造を持つ多様体上でホッジ予想が成り立つことを仮定することで、多様体上のホッジ予想を帰着すること。
• 準代数的多様体に対するホッジ予想のジャンネンの定式化を用いて階層構造を扱うこと。
• 代数的対応およびクネンケット成分に基づく基準を適用し、多様体の冪のコホモロジーとモジュライ空間のコホモロジーを関連させること。
• 既知のホッジ構造およびコンビエランスフィルトレーションの結果を活用し、代数的サイクルとホッジサイクルを関連させること。
• デ・カタルドとミルジョリーニのヒルベルトスキームに関する結果を応用し、点のヒルベルトスキームにおけるホッジ予想を確立すること。
• ガロア表現およびエタールコホモロジーを用いて、算術的類似物（テート予想およびホッジサイクルの絶対性）を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的な代数曲線上の安定ベクトルバンドルのモジュライ空間に対して、ホッジ予想が成り立つ条件は何か？
• RQ2 曲線または曲面上の冪上でホッジ予想が成り立つと仮定した場合、その結果が点のヒルベルトスキームや層のモジュライ空間に対しても成り立つ条件は何か？
• RQ3 曲面上の半安定被覆的自由層のモジュライ空間に対して、一般化されたホッジ予想が成り立つための条件は何か？
• RQ4 特に基本的多様体のキダラ次元がゼロであるような算術的設定において、これらのモジュライ空間に対してテート予想が成り立つ条件は何か？
• RQ5 多様体上のホッジサイクルの絶対性が、その層のモジュライ空間へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 滑らかで射影的な代数曲線 $ X $ 上の安定ベクトルバンドルのモジュライ空間 $ U_X(n,d) $ に対してホッジ予想が成り立つのは、ヤコビアン $ J(X) $ のすべての冪上で予想が成り立つ場合に限る。
• 曲線 $ X $ がモジュライにおいて非常に一般である場合、$ U_X(n,d) $ に対して一般化されたホッジ予想が成り立つ。これは $ J(X)^m $ 上でのホッジ予想の成立に起因する。
• 滑らかで射影的な曲面 $ X $ 上の点のヒルベルトスキームに対してホッジ予想が成り立つのは、$ X $ のすべての冪上で予想が成り立つ場合に限る。この結果は、デ・カタルドとミルジョリーニの研究から導かれる。
• アーベル面またはクラスマー面上の半安定被覆的自由層のモジュライ空間に対してホッジ予想が検証された。
• 体の特性がゼロである場合、曲線 $ X $ のすべての冪上でテート予想が成り立つならば、モジュライ空間 $ M = U_X(n,d) $ に対してもテート予想が成り立つ。同様に、$ M $ に対して絶対性予想が成り立つ。
• キダラ次元がゼロである曲面に対して、点のヒルベルトスキーム $ X^{[n]} $ に対して絶対性予想が成り立つ。これは $ X $ のすべての冪上で成り立つことと、そのような曲面が絶対性の性質が既知の多様体から支配的有理写像をもつことによる。