[論文レビュー] Hodge-Gaussian maps

Elisabetta Colombo, Gian Pietro Pirola+1 more|ArXiv.org|May 30, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ドレーポー形式の調和分解を用いて、コンpactケーラー多様体上に定義される非正則写像の新族、ホッジ–ガウス写像を導入する。主な貢献は、複素多様体の変形における自然な第二基本形式の構成であり、これは曲線のワール写像を一般化し、調和バンドルおよびベクトルバンドルへと拡張可能であり、モジュライ空間の曲率とホッジ理論を研究するための新たな道具を提供する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold, and let $L$ be a line bundle on $X.$ Define $I_k(L)$ to be the kernel of the multiplication map $ Sym^k H^0 (L) o H^0 (L^k).$ For all $h \leq k,$ we define a map $ρ: I_k(L) o Hom (H^{p,q} (L^{-h}), H^{p+1,q-1} (L^{k-h})).$ When $L = K_X$ is the canonical bundle, the map $ρ$ computes a second fundamental form associated to the deformations of $X.$ If $X=C$ is a curve, then $ρ$ is a lifting of the Wahl map $I_2(L) o H^0 (L^2 \otimes K_C^2).$ We also show how to generalize the construction of $ρ$ to the cases of harmonic bundles and of couples of vector bundles.

研究の動機と目的

• ホッジ理論における第二基本形式を一般化する新しい写像クラス、ホッジ–ガウス写像を定義すること。
• コンパクトケーラー多様体 X とラインバンドル L に対して、写像 ρ: I_k(L) × H^{p,q}(L^{-h}) → H^{p+1,q-1}(L^{k-h}) が調和分解を用いてwell-definedであることを示すこと。
• L = K_X のとき、ρ が X の変形函手の第二基本形式を計算することを示すこと。
• この構成を調和バンドルおよびベクトルバンドルのペairに一般化し、ラインバンドルを超えた適用可能性を拡張すること。
• 曲線上の任意のラインバンドルに対して、ワール写像のリフト性を確立し、カーピシュパンの問いに答え、グリーン–グリフィスの予想を確認すること。

提案手法

• I_k(L) を、乗法写像 Sym^k H^0(L) → H^0(L^k) の核として定義し、k 階のサイジィジィを捕捉する。
• ドレーポー代表元と調和分解を用いる：θ ∈ H^1(L^{-1})、λ_i ∈ H^0(L) に対して、θλ_i = γ_i + ∂h_i を A^{0,1}(X) 内で表す。
• Q = ∑ a_ij λ_i ⊗ λ_j に対して、写像 ρ: I_k(L) × H^{p,q}(L^{-h}) → H^{p+1,q-1}(L^{k-h}) を ∑ a_ij λ_i ∂h_j にマッピングすることで構成する。
• ホッジ理論における二種類の型の原理を活用し、調和分解のもとでwell-definedであることを保証する。
• 調和バンドルへの一般化では、∂ をチェーン接続の (1,0) 成分 D’_H に置き換え、D’_H-調和コホモロジーを用いる。
• ワール写像 μ_2 と乗法写像 m を含む図式の可換性を検証し、ρ が定数倍を除いて μ_2 をリフトすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトケーラー多様体の変形に対する第二基本形式を、ホッジ理論的手法によって構成できるか？
• RQ2 任意の曲線上のラインバンドルに対して、ホッジ–ガウス写像 ρ は古典的ワール写像をリフトするか？
• RQ3 写像 ρ の構成をラインバンドルを超えて調和バンドルおよびベクトルバンドルへと拡張可能か？
• RQ4 モジュライ理論において、非正則写像 ρ の幾何学的および曲率論的意味は何か？
• RQ5 サイジィジィと調和形式の観点から、第二基本形式の自然なホッジ理論的解釈は存在するか？

主な発見

• 任意のコンパクトケーラー多様体 X 上のラインバンドル L に対して、ホッジ–ガウス写像 ρ: I_k(L) × H^{p,q}(L^{-h}) → H^{p+1,q-1}(L^{k-h}) は well-defined である。
• L = K_X のとき、ρ は X の変形函手の第二基本形式を計算し、ホッジ理論とモジュライ空間幾何学を結びつける。
• 曲線の場合、ρ は H^0(L ⊗ K_C) × H^0(L ⊗ K_C) 上の乗法写像を介して、第二ワール写像 μ_2: I_2(L) → H^0(L^2 ⊗ K_C^2) をリフトする。
• 調和バンドルへの一般化により、写像 I_2(L) × H^k_{Dolb}(E ⊗ L^{-1}) → H^k_{Dolb}(E ⊗ L) が、D’_H 接続を用いて得られる。
• 写像 ρ は非正則的であり、代数幾何学への応用を妨げることがあるが、モジュライ空間の曲率研究と整合する。
• μ_2 と乗法写像を含む図式の可換性は定数倍を除いて確立され、リフト性が確認された。