[論文レビュー] Hodge integrals in FJRW theory

Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の対称性群をもつ鎖多項式に対する高 genus FJRW 理論において、Polishchuk と Vaintrob の仮想類とホッジ bundle の最高チーン類のカップ積を計算する一般式を提示する。再帰的ベクトル束複体と K-理論的消滅性質を用いて、半単純性の仮定を必要としない、等置不変特徴類を含む極限公式を導出し、$(W,G)$-スピン曲線のモジュライ空間のチャウ環におけるホッジ積分とタウトロジカル関係の明示的計算を可能にする。

ABSTRACT

We study higher genus Fan--Jarvis--Ruan--Witten theory of any chain polynomial with any group of symmetries. Precisely, we give an explicit way to compute the cup product of Polishchuk and Vaintrob's virtual class with the top Chern class of the Hodge bundle. Our formula for this product holds in any genus and without any assumption on the semi-simplicity of the underlying cohomological field theory.

研究の動機と目的

• 鎖多項式をもつ Landau–Ginzburg orbifold における高 genus FJRW 理論におけるホッジ積分を体系的に計算するための手法を提供すること。
• 以前の genus-0 結果を、コhomological field theory の半単純性を要件としない任意の genus に拡張すること。
• 等置不変特徴類を用いて、PV 仮想類とホッジ bundle の最高チーン類のカップ積の公式を確立すること。
• $(W,G)$-スピン曲線のモジュライ空間のチャウ環におけるタウトロジカル関係の明示的計算を可能にすること。
• アルゴリズム的実装を通じて、二重ランクハーモニック階層などの統合可能階層への応用を支援すること。

提案手法

• 本手法は、修正された二周期的複体と再帰的ベクトル束複体を用いて、FJRW 理論における仮想類を分析する。
• 再帰的複体の K-理論的消滅性質を用いて、特徴類の極限公式を導出する。
• 主要な公式は、$t_j^{a_j}t_{j+1} = 1$ を満たす条件下で、等置不変チーン類 $\mathfrak{c}_{t_j}(-R^\bullet\pi_*\mathcal{L}_j)$ と $\mathfrak{c}_{t_{N+1}}(\mathbb{E}^\vee)$ の積の極限としてカップ積を表現する。
• 本アプローチは、二周期的複体の非退化性とホッジ bundle の解体における消滅条件に依存する。
• 導出には、Guere (2015) の定理 3.5 と定理 3.19 を用い、K-理論におけるコホモロジー差を等置する。
• 結果として得られた K-理論的表現が仮想類の積と一致することを確認し、主要公式の証明がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純性を仮定しない場合、鎖多項式に対する高 genus FJRW 理論におけるホッジ積分はどのように計算可能か？
• RQ2 任意の genus において、Polishchuk–Vaintrob 仮想類とホッジ bundle の最高チーン類のカップ積の構造はどのようなものか？
• RQ3 再帰的ベクトル束複体を用いて、FJRW 理論におけるこのカップ積の普遍的公式を導出可能か？
• RQ4 得られた表現は、$(W,G)$-スピン曲線のモジュライ空間のチャウ環におけるタウトロジカル関係とどのように関係するか？
• RQ5 この手法は、二重ランクハーモニック階層などの統合可能階層方程式をどの程度まで計算可能にするか？

主な発見

• 本稿では、カップ積 $c_{\mathrm{top}}(\mathbb{E}^\vee) \cdot c_{\mathrm{vir}}^{\mathrm{PV}}$ の普遍的公式を、等置不変特徴類の極限として確立する。
• この公式は任意の genus と鎖多項式 $W$ の任意の対角的対称性群 $G$ に対して成り立ち、半単純性の仮定を必要としない。
• この結果により、Chiodo の公式と Mumford の公式に基づく MAPLE プログラムを用いて、ホッジ積分の明示的数値計算が可能になる。
• 公式は、ホッジ bundle がランク 0 である genus-0 の場合に Guere (2015) の結果を特別な場合として回復する。
• $\epsilon = t^{-1} - 1$ における極限表現は、負の次数項が消えるローレンツ級数を生成し、$m < 0$ に対して $C_m = 0$ となるタウトロジカル関係を示唆する。
• これらの関係は現在進行中の作業で Pixton の関係と比較されており、モジュライ空間のタウトロジカル関係との深い関係を示唆している。