[論文レビュー] Hodge metric completion of the moduli space of Calabi-Yau manifolds

Kefeng Liu, Yang Shen|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、極小でマークされたカラビ–ヤウ多様体のトーリー空間のホッジ計量完備化が複素アフィン多様体であることを証明し、この完備化空間から周期領域への周期写像が単射であることを示している。さらに、この完備化空間が、完全なケーラー–アインシュタイン計量を備えた有界な正則関数の定義域であることも確立しており、複素次元 ≥3 におけるカラビ–ヤウ多様体のトーリー問題およびモジュライ幾何学の主要な側面を解消する。

ABSTRACT

In this paper, it is proved that the Hodge metric completion of the moduli space of polarized and marked Calabi-Yau manifolds, i.e. the Torelli space, is a complex affine manifold. As applications we prove that the period map from the Torelli space and the extended period map from its completion space, both are injective into the period domain, and that the completion space is a bounded domain of holomorphy with a complete Kähler-Einstein metric. As a corollary we show that the period map from the moduli space of polarized Calabi-Yau manifolds with level $m$ structure is also injective.

研究の動機と目的

• 極小でマークされたカラビ–ヤウ多様体のトーリー空間のホッジ計量完備化を複素アフィン多様体として確立すること。
• トーリー空間およびその完備化から周期領域への周期写像の単射性を証明すること。
• ホッジ計量完備化空間が、完全なケーラー–アインシュタイン計量を備えた有界な正則関数の定義域であることを示すこと。
• m ≥ 3 に対してレベル m 構造を備えたモジュライ空間へと周期写像の単射性を拡張すること。
• ホッジ計量完備化および正則アフィン構造を通じて、モジュライ多様体の位相的および幾何的構造を明確化すること。

提案手法

• 周期写像とホッジ計量を用いて、ティッヒミュラー空間にグローバルな正則アフィン構造を構成する。
• ホッジ計量を周期領域から引き戻した計量の下でのトーリー空間の計量的完備化として、トーリー空間のホッジ計量完備化を定義する。
• モジュライ空間 $\mathcal{Z}_m$ から普遍被覆 $\mathcal{T}$ およびトーリー空間 $\mathcal{T}'$ への周期写像の上昇を定め、関連図式の可換性を保証する。
• ヴァン・カンペンの定理を用いて、$\mathcal{Z}_m$ からそのホッジ計量完備化 $\mathcal{Z}_m^H$ への包含写像が、基本群の全射準同型を誘導することを示す。
• ホッジ計量の完備性および曲率の性質を活用して、ホッジ計量完備化空間が有界な正則関数の定義域であることを証明する。
• 写像の一意的上昇性および周期写像の非退化性を用いて、完備化空間から周期領域への周期写像が単射であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小でマークされたカラビ–ヤウ多様体のトーリー空間のホッジ計量完備化は複素アフィン多様体か？
• RQ2 ホッジ計量完備化空間から周期領域への周期写像は、依然として単射か？
• RQ3 ホッジ計量完備化空間は、完全なケーラー–アインシュタイン計量を備えた有界な正則関数の定義域か？
• RQ4 m ≥ 3 に対してレベル m 構造を備えたモジュライ空間へと周期写像の単射性は拡張可能か？
• RQ5 モジュライ空間 $\mathcal{Z}_m$、そのホッジ計量完備化 $\mathcal{Z}_m^H$、およびこれらの空間の基本群の間の位相的関係は何か？

主な発見

• 極小でマークされたカラビ–ヤウ多様体のトーリー空間のホッジ計量完備化は複素アフィン多様体である。
• トーリー空間から周期領域への周期写像は単射である。
• ホッジ計量完備化空間は有界な正則関数の定義域である。
• ホッジ計量完備化空間には完全なケーラー–アインシュタイン計量が存在する。
• m ≥ 3 に対して、レベル m 構造を備えたモジュライ空間からの中の周期写像は、系として単射である。
• モジュライ空間 $\mathcal{Z}_m$ をそのホッジ計量完備化 $\mathcal{Z}_m^H$ に含める包含写像は、基本群の上への準同型を誘導する。