[論文レビュー] Shimura Varieties and Moduli

J. S. Milne|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 60被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、合同部分群によるエルミート対称領域の商として得られる連結シャイマーバイエリティが、付加構造をもつアーベル多様体またはモチーフのモジュライ空間として実現可能となる条件を確立する。いくつかの少数のケースでは、このような多様体が極性、自己準同型、レベル構造（PEL）をもつアーベル多様体のモジュライ空間であることを証明する。より広いクラスでは、極性、ホッジ類、レベル構造（PHL）をもつアーベル多様体をパラメトライズする。E6、E7および特定のD型を除くすべてのタイプでは、付加構造をもつアーベルモチーフの分類を実施する。主な結果は、幾何的モジュライ解釈をもつシャイマーバイエリティの完全な分類である。

ABSTRACT

Connected Shimura varieties are the quotients of hermitian symmetric domains by discrete groups defined by congruence conditions. We examine their relation with moduli varieties. (Handbook of Moduli).

研究の動機と目的

• 連結シャイマーバイエリティのうち、アーベル多様体またはモチーフのモジュライ空間として実現可能なものがどのようなものかを特定すること。
• ホッジ理論と算術群を介して、エルミート対称領域、周期領域、モジュライ空間の関係を明確にすること。
• ディンキン型および関連する代数群に基づいて、幾何的モジュライ解釈をもつシャイマーバイエリティを分類すること。
• モジュライ空間であるシャイマーバイエリティに対して、その反射体上に標準的モデルが存在することを確立すること。
• 文献に存在する曖昧さを解消するために、完全で自己完結的な理論的取り扱いを提供し、完全な証明を含めること。

提案手法

• 中心が自明で、特定の円周群からのホモオモルフィズムをもつ実半単純群に付随するリー群の商として得られるエルミート対称領域の理論を用いる。
• バイルー＝ボレルの定理を適用して、局所的対称多様体およびそのコンパクト化の代数的性を証明する。
• ムムフォード＝タイツ群とホッジ構造の変動を用いて、シャイマーバイエリティ上のホッジ理論的データを分類する。
• デリーニの定理（絶対的ホッジ類）を適用し、アーベル多様体上のすべてのホッジ類が代数的であることを示し、これによりアーベルモチーフの定義を可能にする。
• サタケおよびデリーニによるシンプレクティック埋め込みの分類を用いて、エルミート対称領域をシーゲル上半平面に埋め込む。
• 普遍的なアーベルモチーフの族を用いてモジュライ写像を構成し、降下法および被覆の議論を用いて正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結シャイマーバイエリティが、付加構造をもつアーベル多様体のファインモジュライ空間であるための条件は何か？
• RQ2 どのシャイマーバイエリティが、極性、ホッジ類、レベル構造をもつアーベルモチーフを介して幾何的モジュライ解釈をもつか？
• RQ3 代数群の導来部分群および中心の構造が、シャイマーバイエリティのモジュライ実現にどのように影響するか？
• RQ4 特殊点におけるリコールス法則によって、シャイマーバイエリティの反射体上の標準的モデルが一意に特徴付けられるか？
• RQ5 シャイマーバイエリティのモジュライ解釈は、解析的均一化に依存せずに、どの程度代数的に定義可能か？

主な発見

• 連結シャイマーバイエリティは、極性、自己準同型、レベル構造（PEL）をもつアーベル多様体のモジュライ空間として有限個のケースに限って実現可能である。
• はるかに広いクラスのシャイマーバイエリティは、極性、ホッジ類、レベル構造（PHL）をもつアーベル多様体をパラメトライズする。
• E6、E7および特定のD型を除くすべての連結シャイマーバイエリティは、付加構造をもつアーベルモチーフのモジュライ空間である。
• 群の中心がその実数点において離散的であるとき、シャイマーバイエリティは普遍的なアーベルモチーフの族をもち、したがってファインモジュライ空間である。
• 特殊点におけるシュミュラーのリコールス法則によって、シャイマーバイエリティの反射体上の標準的モデルは一意に決定される。
• すべてのシャイマーバイエリティに対して、標準的モデルが存在する。これは、タイプA1部分多様体をもつより大きな多様体への埋め込みによって、幾何的モジュライ解釈が不明な場合でも保証される。