[論文レビュー] Hodge-Tate decomposition for non-smooth spaces

Haoyang Guo|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異的である可能性のある滑らかでない正規rigid空間に対しても、特徴が 0 で完備かつ代数的に閉じた非アルキメデス的体上のHodge-Tate分解を一般化する。pro-étaleコホロロジー、éhトポス、特異点の解消を用いて、E₂で退化するスペクトル系列を確立し、滑らかでない状況へ古典的なHodge-Tate結果を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we generalize the Hodge-Tate decomposition of p-adic étale cohomology to non-smooth rigid spaces. Our strategy is to study pro-étale cohomology of rigid spaces introduced by Scholze, using the resolution of singularities and the simplicial method.

研究の動機と目的

• 滑らかでない正規rigid空間に対しては有効であったHodge-Tate分解を、特徴が 0 で完備かつ代数的に閉じた非アルキメデス的体上の滑らかでない正規rigid空間へ拡張すること。
• éhトポスとその関連する微分形式の層を導入することで、特異的rigid空間のためのコホロロジー枠組みを構築すること。
• p進étaleコホロロジーとéhサイト上の微分形式の整合的コホロロジーを結ぶスペクトル系列を確立し、滑らかでない状況に一般化すること。
• 単体的技法と特異点の解消を用いて、滑らかでない正規rigid空間に対しても、スペクトル系列がE₂ページで退化することを証明すること。
• 空間が離散的評価を持つ部分体に定義されており、残渣体が完全である場合、標準的なGalois-equivariant Hodge-Tate分解を回復すること。

提案手法

• 特異点の解消により局所的に滑らかになるように、éhトポスを導入する。これはétale被覆、普遍的ホメオモルフィズム、ブローモー被覆によって生成される。
• éhトポスにおける連続微分形式層の層化により、éh微分形式の層Ω^j_{éh,/K}を定義する。
• Scholzeが開発したrigid空間のpro-étaleコホロロジーを用いて、p進étaleコホロロジーと構造層の導来押し出しを関連付ける。
• 微分形式のéh降下とスペクトル系列の退化を介して、(pro-étale)-éh de Rham比較同型を確立する。
• 単体的技法とrigid空間の強い持ち上げ可能性を用いて、導来直接像Rν_*Ô_Xが、ねじれたéhコホロロジー群の直和に quasi-isomorphic であることを示す。
• 退化定理（定理7.4.9）と有限性結果（定理6.0.2）を活用して、スペクトル系列がE₂で退化することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が 0 で完備かつ代数的に閉じた非アルキメデス的体上の滑らかでない正規rigid空間に対しても、Hodge-Tateスペクトル系列を拡張できるか？
• RQ2 éhトポスを用いて、特異的空間上のHodge-Tate構造を捉える整合的コホロロジー理論を定義できるか？
• RQ3 p進étaleコホロロジーと微分形式のéhコホロロジーを結ぶスペクトル系列は、特異的rigid空間に対してもE₂で退化するか？
• RQ4 Hodge-Tate分解が滑らかでない空間に対して、標準的なGalois-equivariant分解をもつのはどのような条件下か？
• RQ5 rigid空間のpro-étaleコホロロジーは、微分形式のねじれたéhコホロロジー群の直和として表せるか？

主な発見

• 特徴が 0 で完備かつ代数的に閉じた非アルキメデス的体上の正規rigid空間に対して、Hodge-Tateスペクトル系列は、滑らかでない場合でもE₂ページで退化する。
• 任意の正規rigid空間Xに対して、スペクトル系列 E₂^{i,j} = H^i(X_éh, Ω^j_{éh,/K})(-j) ⇒ H^{i+j}(X_ét, ℚ_p) ⊗_{ℚ_p} K がE₂で退化する。
• Xが滑らかであるとき、H^i(X_éh, Ω^j_{éh,/K})(-j) は H^i(X, Ω^j_{X/K})(-j) に同型であり、古典的なHodge-Tateスペクトル系列を回復する。
• コホロロジー群 H^i(X_éh, Ω^j_{éh,/K})(-j) は、K-ベクトル空間として有限次元であり、0 ≤ i,j ≤ dim X でなければ消える。
• Xが残渣体が完全な離散的評価を持つ部分体K₀上で定義されているとき、スペクトル系列はGalois-equivariantであり、次のように標準的に分解する： H^n(X_ét, ℚ_p) ⊗ K = ⨁_{i+j=n} H^i(X_éh, Ω^j_{éh,/K₀})(-j) ⊗_{K₀} K。
• スペクトル系列の退化は、退化定理（定理7.4.9）に基づき、強い持ち上げ可能性と微分形式のéh降下に依存する。