[論文レビュー] Relative p-adic Hodge theory, II: Imperfect period rings

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 88被引用数 53

ひとこと要約

この論文は、相対p進ホッジ理論を拡張し、アディック空間上の擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群を導入することで、古典的$(\varphi,\Gamma)$-加群を一般化し、良いホモロジー的性質を備えたアーベル圏構造を確立する。p進ガロア表現の過収束性は、適切な無限エタール被覆の存在下で周期層の分解完了を用いて証明され、幾何的設定ではアンドレッタ＝ブリノンの相対$(\varphi,\Gamma)$-加群と同値であることが示される。

ABSTRACT

In a previous paper, we constructed a category of (phi, Gamma)-modules associated to any adic space over Q_p with the property that the etale (phi, Gamma)-modules correspond to etale Q_p-local systems; these involve sheaves of period rings for Scholze's pro-etale topology. In this paper, we first extend Kiehl's theory of coherent sheaves on rigid analytic spaces to a theory of pseudocoherent sheaves on adic spaces, then construct a corresponding theory of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules. We then relate these objects to a more explicit construction in case the space comes equipped with a suitable infinite etale cover; in this case, one can decomplete the period sheaves and establish an analogue of the theorem of Cherbonnier-Colmez on the overconvergence of p-adic Galois representations. As an application, we show that relative (phi, Gamma)-modules in our sense coincide with the relative (phi, Gamma)-modules constructed by Andreatta and Brinon in the geometric setting where the latter can be constructed. As another application, we establish that the category of pseudocoherent (phi, Gamma)-modules on an arbitrary rigid analytic space over a p-adic field is abelian, satisfies the ascending chain condition, and is stable under various natural derived functors (including Hom, tensor product, and pullback). Applications to the etale cohomology of pro-etale local systems will be given in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• 古典的$(\varphi,\Gamma)$-加群を、ホモロジー的性質がより良いクラスの擬準コherent加群へ一般化すること。
• 非アルキメデス解析的空間の文脈における相対p進ホッジ理論において、擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群の理論を構築すること。
• 無限エタール被覆に沿った周期層の分解完了を用いて、p進ガロア表現の過収束性を確立すること。
• 混合特徴値の非アルキメデス体上の剛体解析的空間における擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群の圏がアーベル的であり、導来関手に対して安定であることを示すこと。
• 両者とも定義される幾何的設定において、著者の相対$(\varphi,\Gamma)$-加群とアンドレッタ＝ブリノンのものとの同値性を証明すること。

提案手法

• 導来カテゴリと平坦性基準を用いて、キエルのコherent層の理論を擬準コherent層へアディック空間上で拡張する。
• シュォルゼのプロエタール位相における周期層を構成し、無限エタール被覆に沿った降下を用いて$(\varphi,\Gamma)$-加群を定義する。
• 周期環への分解完了技術を用いて過収束性を回復し、チェルボニエ＝コルゼの定理を相対的設定へ一般化する。
• アンドレの補題とフォンテーヌの完全体環の理論を用いて、周期層およびその加群の構造を分析する。
• 擬平坦性とボアヴィレ＝ラズロの貼り合わせを用いて、アディック空間上のグローバル構成を扱う。
• フロベニウス分割とスロープ理論を用いて、$(\varphi,\Gamma)$-加群の構造およびそのコホモロジーを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\varphi,\Gamma)$-加群の圏を、より良いホモロジー的性質を備えた擬準コherent対象へどのように拡張できるか？
• RQ2 周期層の分解完了が、どのような条件下でp進ガロア表現の過収束性をもたらすか？
• RQ3 どのような幾何的設定において、著者の相対$(\varphi,\Gamma)$-加群とアンドレッタとブリノンのものとが一致するか？
• RQ4 剛体解析的空間上の擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群の圏の構造的性質（例えばアーベル的、ネーター的）は何か？
• RQ5 導来関手（$\operatorname{Hom}$、$\otimes$、引き戻し）は、擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群の圏においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 混合特徴値の非アルキメデス体上の剛体解析的空間における擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群の圏はアーベル的であり、上昇鎖条件を満たす。
• この圏は導来関手 $\operatorname{Hom}$、$\otimes$、および引き戻しに対して安定しており、強力な圏的制御が保証される。
• p進ガロア表現の過収束性は、無限エタール被覆に沿った周期層の分解完了を用いて確立され、チェルボニエ＝コルゼの定理が相対的設定へ一般化される。
• 著者の相対$(\varphi,\Gamma)$-加群は、両者とも定義される幾何的設定において、アンドレッタとブリノンのものと一致する。
• タイプ $\mathbf{C}$ の擬準コherent $(\varphi,\Gamma)$-加群は$B$-ペアと同値であり、うまく定義されたスロープ分解を備えることが示される。
• 完全体塔の理論とフロベニウス分割を用いることで、ガロア作用およびフロベニウス作用が制御された周期層の構成が可能になる。