[論文レビュー] Hodge theory and cohomology with compact supports

Edward L. Bueler, Igor Prokhorenkov|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、無限遠で急速に増加する測度 dμ と関連する Hodge--Witten--Bismut ラプラシアン Δμ を構成することにより、非コンパクトでトポロジカルに tame な多様体に対するホッジ理論を確立する。コンパクトな台を持つ de Rham コホロロジーと Δμ の核の間の同型を、円筒型の端を持つ多様体上の微分形式の「ゼロへの拡張」性質を用いて証明する。

ABSTRACT

This paper constructs a Hodge theory of noncompact topologically tame manifolds $M$. The main result is an isomorphism between the de Rham cohomology with compact supports of $M$ and the kernel of the Hodge--Witten--Bismut Laplacian $\lap_μ$ associated to a measure $dμ$ which has sufficiently rapid growth at infinity on $M$. This follows from the construction of a space of forms associated to $\lap_μ$ which satisfy an ``extension by zero'' property. The ``extension by zero'' property is proved for manifolds with cylindrical ends possessing gaussian growth measures.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで、標準的ホッジ理論が非コンパクト性のため失敗する、トポロジカルに tame な多様体に対するホッジ理論を開発すること。
• 非コンパクト多様体上でのコンパクトな台を持つ de Rham コホロロジーに対するホッジ分解の欠如を扱うこと。
• 無限遠で急速に増加する測度 dμ と関連するラプラシアン Δμ を構成し、整合的なホッジ理論を可能にすること。
• Δμ の核がコンパクトな台を持つ de Rham コホロロジーと同型であることを証明すること。
• 測度 dμ がガウス型の増加を示す場合に、円筒型の端を持つ多様体上での微分形式に対する「ゼロへの拡張」性質を確立すること。

提案手法

• 無限遠で十分に急速に増加する測度 dμ を用いて、微分形式上の重み付き L2 内積を定義する。
• dμ に対する de Rham 微分の形式的随伴として、Hodge--Witten--Bismut ラプラシアン Δμ を構成する。
• Δμ 不変形式の空間が、円筒型の端を持つ多様体上で「ゼロへの拡張」性質を満たすことを証明する。
• 円筒型の端の幾何を用いて、形式の減衰と増大を制御し、拡張性質が成り立つことを保証する。
• コンパクトな台を持つ形式の空間における Δμ のスペクトル的性質を確立し、コホロロジーとの同型に至る。
• 多様体の無限遠における構造（円筒型の端）を活用して、測度 dμ が良い振る舞いを示すラプラシアンを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト多様体において、標準的ホッジ理論が失敗する状況でホッジ理論を構築できるか？
• RQ2 非コンパクト多様体上に、コンパクトな台を持つ de Rham コホロロジーを核として持つラプラシアン作用素 Δμ が存在するか？
• RQ3 測度 dμ がどのような条件下で、円筒型の端における微分形式の「ゼロへの拡張」性質を満たすか？
• RQ4 dμ の無限遠における増加率は、Δμ のスペクトル的性質にどのように影響するか？
• RQ5 H^k_c(M) と ker(Δμ) の同型が成り立つために、多様体に必要な幾何的条件（例：円筒型の端）は何か？

主な発見

• コンパクトな台を持つ de Rham コホロロジー H^k_c(M) は、多様体 M 上の Hodge--Witten--Bismut ラプラシアン Δμ の核と同型である。
• 測度 dμ が無限遠でガウス型の増加を示す非コンパクトでトポロジカルに tame な多様体に円筒型の端がある場合、同型が成り立つ。
• Δμ 不変形式の空間は「ゼロへの拡張」性質を満たし、ker(Δμ) に属する形式は円筒型の端を越えて滑らかにゼロに拡張可能である。
• この構成は、多様体の無限遠における幾何と測度 dμ の増加の間の相互作用に依存している。
• この結果により、適切に定義された強調的微分作用素の核を通じて、コンパクトな台を持つコホロロジーのホッジ理論的実現が得られる。
• 同型は正規化可能であり、計量の選択に依存せず、dμ が十分な増加を示す限り、dμ にのみ依存する。