[論文レビュー] Holographic theory for continuous phase transitions -- the emergence and symmetry protection of gaplessness

Arkya Chatterjee, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|May 12, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、対称性／トポロジカルオーダー（Symm/TO）対応に基づくホログラフィック枠組みを導入し、連続的相転移、ギャップレス臨界点、対称性保護ギャップレス相を統一的に記述する。高次元トポロジカルオーダーにおけるコンデン可能な代数を用いてギャップあり・ギャップなし状態を分類することで、還元された対称性トポロジカルオーダー M/A が非自明であるときギャップレスが出現することを確立し、異常系、高次フォーム、非可逆的対称性に適用可能な、臨界性の対称性保護メカニズムを提供する。

ABSTRACT

Two global symmetries are holo-equivalent if their algebras of local symmetric operators are isomorphic. Holo-equivalent classes of global symmetries are classified by gappable-boundary topological orders (TO) in one higher dimension (called symmetry TO), which leads to a symmetry/topological-order (Symm/TO) correspondence. We establish that: (1) For systems with a symmetry described by symmetry TO $M$, their gapped and gapless states are classified by condensable algebras $A$, formed by elementary excitations in $M$ with trivial self/mutual statistics. Such classified states (called $A$-states) can describe symmetry breaking orders, symmetry protected topological orders, symmetry enriched topological orders, gapless critical points, etc., in a unified way. (2) The local low-energy properties of an $A$-state can be calculated from its reduced symmetry TO $M_{/A}$, using holographic modular bootstrap (holoMB) which takes $M_{/A}$ as an input. Here $M_{/A}$ is obtained from $M$ by condensing excitations in $A$. Notably, an $A$-state must be gapless if $M_{/A}$ is nontrivial. This provides a unified understanding of the emergence and symmetry protection of gaplessness that applies to symmetries that are anomalous, higher-form, and/or non-invertible. (3) The relations between condensable algebras constrain the structure of the global phase diagram. (4) 1+1D bosonic systems with $S_3$ symmetry have four gapped phases with unbroken symmetries $S_3$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_2$, and $\mathbb{Z}_1$. We find a duality between two transitions $S_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_1$ and $\mathbb{Z}_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_2$: they are either both first order or both (stably) continuous, and in the latter case, they are described by the same conformal field theory (CFT).

研究の動機と目的

• ランドーの対称性の自発的破れ理論を超えた、ギャップあり・ギャップなし量子相を分類する統一的枠組みの構築。
• 体積のトポロジカルオーダーと境界の臨界性の間のホログラフィック双対性の確立。
• 高次元トポロジカルオーダーにおけるコンデン可能な代数を用いたギャップレスの出現とその対称性保護の説明。
• 混合異常と非可逆的対称性を有する系における連続的相転移の分析。
• S3およびZ2×Z′2対称性を有する1+1次元系におけるギャップあり・ギャップなし相の分類、異常系を含む。

提案手法

• 1次元高い次元におけるギャップを持つ境界を有するトポロジカルオーダーによって、グローバル対称性を分類するための対称性／トポロジカルオーダー（Symm/TO）対応を用いる。
• 局所的対称的オペレーター代数の同型によって、グローバル対称性のホロモーラフィック同値性を定義する。
• 還元された対称性トポロジカルオーダー M/A から低エネルギー性質を計算するために、ホログラフィックモジュラー・ブートストラップ（holoMB）を適用する。
• コンデン可能な代数 A を用いてギャップあり・ギャップなし状態を特定する。ここで A は統計が自明な任意onsからなる。
• コンデン可能な代数の構造と M 内のそれらの関係を分析することで、相図を構築する。
• 本枠組みを Z2×Z′2 および S3 対称性を有する1+1次元系に適用し、異常系および混合異常系を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非部分群的対称性関係があるためにランダウ理論が失敗する場合、連続的相転移をどのように体系的に分類できるか？
• RQ2 トポロジカルオーダーは、臨界相におけるギャップレスの保護にどのような役割を果たすか？
• RQ3 異常系、高次フォーム、非可逆的対称性は、ギャップレス臨界性の出現にどのように影響するか？
• RQ4 一様な形式で対称性の自発的破れ、SPT、トポロジカルオーダー相を記述できる統一的枠組みは存在するか？
• RQ5 非可逆的または異常対称性を有する系において、相転移が1次相転移か連続的相転移かを決定づける要因は何か？

主な発見

• Z2×Z′2 対称性を有する1+1次元系で混合異常が存在する場合、Z2破れ相とZ′2破れ相の間には、Z4 対称性破れ転移と同一の臨界理論で記述される安定した連続的転移（脱コンfinement量子臨界点）が存在する。
• 1+1次元のS3対称性では、S3、Z3、Z2、Z1 対称性が保たれた4つのギャップあり相が存在し、S3↔Z1 および Z3↔Z2 の転移は、両方とも1次相転移または両方とも連続的相転移であり、後者は同一の conformal field theory で記述される。
• 異常系 S(1)3 および S(2)3 対称性は、対称性によって保護される安定なキラルギャップレス相を支持しており、異常系における対称性保護ギャップレスを示している。
• Z2×Z′2 混合異常転移の臨界点が、Z4 対称性破れ臨界点と等価であることが示され、普遍的な CFT 述語が示唆される。
• 本枠組みは、還元された対称性トポロジカルオーダー M/A が非自明である場合、A状態は必然的にギャップレスであると予測しており、対称性保護ギャップレスの一般的メカニズムを提供する。
• 本手法は、異常系 S3 系におけるギャップあり・ギャップなし相の分類に成功し、連続的転移の双対性と普遍的な CFT を明らかにした。