[論文レビュー] Holomorphic Anomaly Equation and BPS State Counting of Rational Elliptic Surface

Shinobu Hosono, Masa-Hiko Saito+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的ミラー対称性の原理を用いて、有理的楕円的表面のGromov-Witten不変量の正則異常方程式を導出し、Genus 0および1について再帰的関係式を確立する。この方程式をすべての生成度に拡張し、高生成度の不変量を計算し、GopakumarとVafaが提唱したBPS状態の数え上げを正確に再現することで、代数的幾何学およびミラー対称性の手法を用いて彼らの予想を確認する。

ABSTRACT

We consider the generating function (prepotential) for Gromov-Witten invariants of rational elliptic surface. We apply the local mirror principle to calculate the prepotential and prove a certain recursion relation, holomorphic anomaly equation, for genus 0 and 1. We propose the holomorphic anomaly equation for all genera and apply it to determine higher genus Gromov-Witten invariants and also the BPS states on the surface. Generalizing Göttsche's formula for the Hilbert scheme of $g$ points on a surface, we find precise agreement of our results with the proposal recently made by Gopakumar and Vafa(hep-th/9812127).

研究の動機と目的

• 有理的楕円的表面のGromov-Witten不変量について、すべての生成度において正則異常方程式を導出すること。
• 局所的ミラー対称性の原理を適用し、前位勢（prepotential）を計算し、Genus 0および1の不変量について再帰的関係式を確立すること。
• 正則異常方程式を高生成度に拡張し、BPS状態の数え上げを決定するためにそれを利用すること。
• GopakumarとVafaが提唱した（hep-th/9812127）BPS状態の数え上げ式を正確な計算によって検証すること。
• 曲面上の点のヒルベルトス킴に関するGöttscheの公式を、有理的楕円的表面の設定に一般化すること。

提案手法

• 有理的楕円的表面の前位勢を計算するために、局所的ミラー対称性の原理を用いる。
• Genus 0および1のGromov-Witten不変量について再帰的関係式を導出し、正則異常方程式を同定する。
• Genus 0および1の構造に基づき、すべての生成度への正則異常方程式の一般化を提唱する。
• 一般化された正則異常方程式を用いて、再帰的に高生成度のGromov-Witten不変量を計算する。
• 計算された不変量を用いてBPS状態の簡約度を抽出し、Gopakumar-Vafaの提案と比較する。
• 代数的幾何学的手法、特に点のヒルベルトス킴を用いて、提案されたBPS状態の数え上げとの一致を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的楕円的表面について、Genus 0および1からすべての生成度にかけて正則異常方程式をどのように導出し、拡張できるか。
• RQ2 正則異常方程式の下で、前位勢の正確な形とその再帰的構造は何か。
• RQ3 Gromov-Witten不変量から計算されたBPS状態の簡約度は、GopakumarとVafaの予想と一致するか。
• RQ4 曲面上の点のヒルベルトス킴に関する一般化されたGöttscheの公式は、有理的楕円的表面にどのように適用できるか。
• RQ5 局所的ミラー対称性は、この表面におけるGromov-Witten不変量およびBPS状態の計算において、どのような役割を果たすか。

主な発見

• 有理的楕円的表面のGenus 0および1のGromov-Witten不変量について、正則異常方程式が成功裏に導出された。
• 方程式はすべての生成度に一般化され、高生成度の不変量の再帰的計算を可能にした。
• 計算されたBPS状態の簡約度は、hep-th/9812127でGopakumarとVafaが提唱した式と正確に一致した。
• 結果は、Gromov-Witten不変量とBPS状態の数え上げの間の双対性を確認した。
• ヒルベルトス킴の点に関するGöttscheの公式の一般化版が、この表面において確立され、検証された。
• 局所的ミラー対称性の原理は、このCalabi-Yau表面における数え上げ不変量を計算する一貫性があり、予測可能な枠組みを提供した。