[論文レビュー] Holomorphic Blocks for 3d Non-abelian Partition Functions

Taki Masato|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 37被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、3次元 $N=2$ 非アーベルゲージ理論が、分配関数の正確な因子分解を示すことを証明している。これは、以前のアーベル理論の結果を一般化したものである。非アーベル行列模型を解消するためのカウチの公式を用いて、著者たちは分配関数が正則的および反正則的ボソン/反ボソン寄与に分解されることを示し、3次元 $N=2$ 理論における正則的ブロック構造に関する予想を確認した。

ABSTRACT

The most recent studies on the supersymmetric localization reveal many non-trivial features of supersymmetric field theories in diverse dimensions, and 3d gauge theory provides a typical example. It was conjectured that the index and the partition function of a 3d N=2 theory are constructed from a single component: the holomorphic block. We prove this conjecture for non-abelian gauge theories by computing exactly the 3d partition functions and holomorphic blocks.

研究の動機と目的

• 3次元 $ N=2$ 非アーベルゲージ理論の分配関数が正則的ブロックに因子分解するという予想を証明すること。
• 正確な局所化技術を用いて、既知のアーベル因子分解を非アーベル理論へ拡張すること。
• 非アーベル設定における正則的ブロックとK理論的ボソン分配関数の正確な対応関係を確立すること。
• 非アーベルゲージ理論から導かれる正則的ブロックのトップولوجィカルストリング的解釈を提供すること。
• カウチの公式を用いて非アーベル行列模型をアーベルに類似した構造に還元することで、複雑な非アーベル行列模型を解消すること。

提案手法

• 3次元 $ N=2$ 分配関数を $S^3$ 上で正確に表現するため、超対称局所化を用いた。
• 非アーベル行列模型の積分を、アーベルに類似した寄与の積に分解するためにカウチの公式を適用した。
• 正則的ブロックを $S^1 \times \mathbb{R}^2$ 上のボソン分配関数の母関数として同定した。
• パラメータ化 $C_{ji_α} = M_j - a_α$, $D_{ji_α} = \bar{M}_j - a_α + ib$, および $D_{i_α i_β} = a_α - a_β$ を用いて、ボソン分配関数の構造と一致させた。
• 正則的ブロックの式を $q$-変形ハイパボリック関数および $s_b$-関数を含む無限積の形で導出した。
• $U(N)$ 理論に $2N_f$ の基本表現が付随する場合の既知のK理論的ボソン分配関数と整合性があることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $ N=2$ 理論における正則的ブロック因子分解の予想は、非アーベルゲージ理論においても成り立つか？
• RQ2 3次元分配関数の非アーベル行列模型は、アーベル化技術を用いて正確に解けるか？
• RQ3 得られた正則的ブロック構造は、$S^1 \times \mathbb{R}^2$ 上のK理論的ボソン分配関数と整合的か？
• RQ4 S双対変換は、非アーベル理論の正則的ブロック分解においてどのように現れるか？
• RQ5 非アーベル3次元ゲージ理論から導かれる正則的ブロックのトップولوجィカルストリング的解釈は何か？

主な発見

• 2N_f 個の基本的フェルミオン多重項を有する3次元 $ N=2$ $U(N)$ ゲージ理論の分配関数は、正確に正則的および反正則的ブロックに因子分解される。
• 正則的ブロック $Z_V^{\{i_\alpha\}}$ は、ボソン数 $m_\alpha$ に関する和として明示的に計算され、$q$-変形ハイパボリック関数および無限積の寄与を含む。
• 正則的ブロックの式は、$2N_f - N$ 個の基本表現を有する $U(N)$ 理論のK理論的ボソン分配関数と一致し、既知の結果と整合的であることを確認した。
• ベクター型およびフェルミオン型 $U(N)$ 理論の両方において因子分解構造が確認され、分配関数は $Z = \frac{1}{N!} \sum_{\{i_\alpha\}} Z_{\textrm{cl}} Z_{\textrm{pert}} Z_V \widetilde{Z}_V$ の形で書ける。
• 変換 $q \to \tilde{q} = e^{-1/\hbar}$ による $S$-双対性の下で正則的ブロックが不変であることが示され、$\widetilde{Z}_V$ は反正則的対応物である。
• カウチの公式による導出は、非アーベル行列模型をアーベルに類似した積分に還元し、正確な因子分解をもたらした。