[論文レビュー] R-Twisting and 4d/2d Correspondences

Sergio Cecotti, Andrew Neitzke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 102被引用数 209

ひとこと要約

本稿は、4次元 N=2 超共形場理論（SCFT）と2次元有理的共形場理論（RCFT）の間の対応を、BPSダイオンスペクトルから構成された q-変形されたコンツェビッチ＝ソイベルマンモノドロミー作用素を介して確立する。R charges が有理数であるとき、モノドロミー作用素は有限位数を持ち、そのトレースは関連する2次元 RCFT の特徴関数と一致する。ヴェルリンデ代数は、ハイパケーラー多様体上の R 時間対称性の固定点におけるライン演算子の挿入から生じ、ザモロドチコフの TBA システムは4次元理論の BPS スペクトルから自然に導かれる。

ABSTRACT

We show how aspects of the R-charge of N=2 CFTs in four dimensions are encoded in the q-deformed Kontsevich-Soibelman monodromy operator, built from their dyon spectra. In particular, the monodromy operator should have finite order if the R-charges are rational. We verify this for a number of examples including those arising from pairs of ADE singularities on a Calabi-Yau threefold (some of which are dual to 6d (2,0) ADE theories suitably fibered over the plane). In these cases we find that our monodromy maps to that of the Y-systems, studied by Zamolodchikov in the context of TBA. Moreover we find that the trace of the (fractional) q-deformed KS monodromy is given by the characters of 2d conformal field theories associated to the corresponding TBA (i.e. integrable deformations of the generalized parafermionic systems). The Verlinde algebra gets realized through evaluation of line operators at the loci of the associated hyperKahler manifold fixed under R-symmetry action. Moreover, we propose how the TBA system arises as part of the N=2 theory in 4 dimensions. Finally, we initiate a classification of N=2 superconformal theories in 4 dimensions based on their quiver data and find that this classification problem is mapped to the classification of N=2 theories in 2 dimensions, and use this to classify all the 4d, N=2 theories with up to 3 generators for BPS states.

研究の動機と目的

• 4次元 N=2 超共形場理論と2次元有理的共形場理論の間の 4d/2d 対応を確立すること。
• 4次元 N=2 SCFT における有理数 R charges が、q-変形コンツェビッチ＝ソイベルマン作用素の有限位数モノドロミーをもたらすことを示すこと。
• モノドロミー作用素のトレースを、Zamolodchikov の TBA システムに関連する2次元 RCFT の特徴関数と特定すること。
• ハイパケーラーモジュライ空間上の R 時間対称性の固定点におけるライン演算子の評価として、ヴェルリンデ代数を実現すること。
• クオーバー・データを用いた4次元 N=2 SCFT の分類と、特に3つの BPS生成子を持つ理論を含む2次元 N=2 理論の分類との対応を確立すること。

提案手法

• 4次元 N=2 SCFT の BPS ダイオンスペクトルから q-変形コンツェビッチ＝ソイベルマンモノドロミー作用素を構成する。
• 半モノドロミー Y(q) と分数モノドロミー K(q) を用いて、量子トーラス代数を用いた量子モノドロミーを定義する。
• クラスター代数の変異と量子ディログラミッド恒等式を介して、モノドロミーをザモロドチコフの Y システムに写像する。
• ハイパケーラーモジュライ空間上の R 時間対称性作用の固定点におけるライン演算子の評価としてヴェルリンデ代数を実現する。
• q が単位根であるときの量子フロベニウス性質を用いて、モノドロミー固有値の重複度を制約し、それらを RCFT 特徴関数に関連付ける。
• モノドロミー作用素に標準的トレースを適用し、2次元 RCFT 特徴関数を抽出する。(An, A1) および (A3, A1) モデルで数値的に検証済み。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 N=2 SCFT の q-変形コンツェビッチ＝ソイベルマンモノドロミー作用素は、R charges が有理数であるとき有限位数を持つか？
• RQ2 モノドロミー作用素のトレースは、ザモロドチコフの TBA システムに関連する2次元 RCFT の特徴関数と特定できるか？
• RQ3 2次元 RCFT のヴェルリンデ代数は、4次元 N=2 理論のライン演算子構造からどのように生じるか？
• RQ4 量子クラスター代数と量子ディログラミッド恒等式は、4次元 BPS スペクトルと2次元 TBA システムを結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 クオーバー・データによる4次元 N=2 SCFT の分類は、2次元 N=2 SCFT の分類とどのように関係するか？

主な発見

• 4次元 N=2 SCFT において R charges が有理数であるとき、q-変形モノドロミー作用素 M(q) は有限位数を持ち、q が原始 N 次単位根であれば M^N = 1 が成り立つ。
• モノドロミー作用素のトレース Tr[K(q)] は、対応する TBA システムに関連する2次元 RCFT の特徴関数と一致する。(A2, A1)、(A3, A1)、(A4, A1) モデルで検証済み。
• (A2, A1) モデルでは、M(q) の標準的トレースが (2,5) 最小模型の特徴関数を再現し、M(q) の固有値重複度は周期6の周期的パターンに従う。
• (A3, A1) モデルでは、M(q) の固有値重複度 N_k(N) は、[N/3] + a_k(N) と表され、|a_k(N)| ≤ 1 であり、周期性は6である。
• (A4, A1) モデルでは、モノドロミーが M^7 = 1 を満たし、固有値重複度が N_k(N) = [N²/7] + a_k(N) と表され、|a_k(N)| ≤ 1 であり、強い等分布性が示唆される。
• (An, A1) 理論のヴェルリンデ代数は、ハイパケーラーモジュライ空間上の R 時間対称性の固定点におけるライン演算子の評価を通じて実現され、結合則はモノドロミー作用の作用に符号化されている。