[論文レビュー] Holomorphic isometries into homogeneous bounded domains

Andrea Loi, Roberto Mossa|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな等長埋め込みに関する2つの剛性定理を確立する：(i) ある滑らかな等長埋め込みを有する多様体上のケーラー＝リッチソリトンは、常にケーラー＝アインシュタイン（自明なソリトン）でなければならない。 (ii) こうした領域は、複素ユークリッド空間（定値または不定値）の相対的関係を有しない、つまり正の次元の共通ケーラー部分多様体を共有しない。これらの結果は、カルビのダイアスタシス関数と正則ナッシュ代数的関数を用いた、ハイパーボリックおよびベルマン計量に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We prove two rigidity theorems on holomorphic isometries into homogeneous bounded domains. The first shows that a Kähler-Ricci soliton induced by the homogeneous metric of a homogeneous bounded domain is trivial, i.e. Kähler-Einstein. In the second one we prove that a homogeneous bounded domain and the flat (definite or indefinite) complex Euclidean space are not relatives, i.e. they do not share a common Kähler submanifold (of positive dimension). Our theorems extend the results proved in [A. Loi, R. Mossa, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021), no. 11, 4931-4941] and [X. Cheng, Y. Hao, Ann. Global Anal. Geom. 60 (2021), no. 1, 167-180] respectively.

研究の動機と目的

• 有界領域上の一般の同調ケーラー計量への滑らかな等長埋め込みに関する剛性結果を、複素双曲空間およびベルマン計量から一般化すること。
• 有界領域上の同調ケーラー計量に滑らかな等長埋め込みを有する多様体上のケーラー＝リッチソリトンが、必ずケーラー＝アインシュタインでなければならないことを証明すること。
• 有界領域上の同調計量と複素（定値または不定値）ユークリッド空間が、正の次元の共通ケーラー部分多様体を共有しないこと、すなわちそれらは「相対的」でないことを示すこと。
• カルビ、ウメハラ、チェン＝ハオによる先行結果を、ダイアスタシス関数と正則ナッシュ代数的関数に基づく新しい解析的枠組みを用いて一般化すること。

提案手法

• 証明は、カルビのダイアスタシス関数に依存しており、これはその第二導関数によって局所的にケーラー計量を符号化する。
• 著者たちは、伊舘秀行による定理3.1から導かれる、有理関数と正の重みを含む、有界領域上の同調計量のダイアスタシスの明示的公式を用いる。
• 指数関数的ダイアスタシス関数の構造を解析し、それが正則ナッシュ代数的関数の環に属することを示す。
• 重要な技術的道具は定理2.1であり、正則的かつ反正則的部品からなる実解析的関数がダイアスタシス型であり、ある関数環に属するならば、それは定数でなければならないと述べている。
• (i) の証明では、ソリトンベクトル場のポテンシャル関数がダイアスタシス型関数を導き、それが定数でなければならないことから、計量がケーラー＝アインシュタインであることが示される。
• (ii) の場合、同調領域および平坦空間への正則等長埋め込みを仮定すると、同じ関数論的議論により平坦計量のポテンシャルが定数でなければならないことが導かれ、これは埋め込み条件に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素双曲空間およびベルマン計量に限らない、有界領域上のすべての同調ケーラー計量への滑らかな等長埋め込みの剛性は、複素双曲空間およびベルマン計量の枠組みを超えて拡張可能か？
• RQ2 有界領域への正則等長埋め込みを有する多様体上のケーラー＝リッチソリトンは、常に自明（すなわちケーラー＝アインシュタイン）であるか？
• RQ3 有界領域上の同調計量と複素ユークリッド空間（定値または不定値）は、正の次元の共通ケーラー部分多様体を共有するか？
• RQ4 ダイアスタシス関数の構造は、等長埋め込み下でのケーラー計量の剛性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 有界領域への正則等長埋め込みを有するケーラー多様体上のケーラー＝リッチソリトンは、すべて自明である。つまり、計量はケーラー＝アインシュタインでなければならない。
• 有界領域上の同調計量のダイアスタシス関数の指数関数的表現は、正則ナッシュ代数的関数の環に属し、この構造により重要な幾何的量が定数でなければならない。
• $ e^{D^g_p} $ は、関連関数の定数性を示す $ \tilde{\frak{F}}^{\tilde{\nu}} $ に属することが示され、これにより計量がケーラー＝アインシュタインであることが導かれる。
• 同調有界領域と複素ユークリッド空間との間で共通のケーラー部分多様体が存在すると仮定すると、平坦計量のポテンシャルが定数である必要があり、これは埋め込み条件に反する。
• 結果は、定理B（双曲空間）および定理C（ベルマン計量）を、有界領域上のすべての同調ケーラー計量に一般化する。
• 証明は、正則ナッシュ代数的関数とそのダイアスタシス型性質の新しい応用に依拠しており、ケーラー幾何における剛性を確立する。