[論文レビュー] Holomorphic primary fields in free CFT4 and Calabi-Yau orbifolds

Robert de Mello Koch, Phumudzo Rabambi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\mathfrak{so}(4,2)$ の特徴を用いて、スカラー、ベクトル、行列の自由な4次元 conformal field theory (CFT4) における一次元的 primary フィールドの数え上げ公式を導出する。極端な primary フィールドは、置換オルビフォールド $\mathbb{C}^{2n}/(\mathbb{C}^2 \times S_n)$ 上の正則多項式関数として構成され、これが Calabi-Yau 多様体であることが示され、極端な primary の空間に palindromic Hilbert 級数と非自明な関係を有する環構造が明らかになる。この関係は生成関数の分子に符号化されている。

ABSTRACT

Counting formulae for general primary fields in free four dimensional conformal field theories of scalars, vectors and matrices are derived. These are specialised to count primaries which obey extremality conditions defined in terms of the dimensions and left or right spins (i.e. in terms of relations between the charges under the Cartan subgroup of $SO(4,2)$). The construction of primary fields for scalar field theory is mapped to a problem of determining multi-variable polynomials subject to a system of symmetry and differential constraints. For the extremal primaries, we give a construction in terms of holomorphic polynomial functions on permutation orbifolds, which are shown to be Calabi-Yau spaces.

研究の動機と目的

• CFT4 における primary フィールドの一般的数え上げ公式を、$\mathfrak{so}(4,2)$ 表現論を用いて導出すること。
• 対称オルビフォールド $\mathbb{C}^{2n}/(\mathbb{C}^2 \times S_n)$ 上の正則多項式関数として extremal primary フィールドを構成すること、これは Calabi-Yau 空間である。
• これらのオルビフォールド上の正則関数を通じて extremal primary 演算子の空間に環構造を確立すること。
• 正則関数の環の Hilbert 級数を解析し、その palindromic 性質を証明するとともに、生成子間の関係および syzygy を同定すること。
• 演算子スペクトルの代数的構造と対称群表現、およびオルビフォールド環の Gorenstein 性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• CFT4 における複合 primary フィールドの構成を、$\mathbb{R}^{4n}$ 上の多変数多項式関数 $\Psi(x_\mu^I)$ に写像し、ラプラス方程式、並進不変性、$S_n$ 置換対称性を課す。
• $\mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2$ 上の複素構造を導入し、$z,w$ 変数における正則関数を定義することで、オルビフォールド $\mathbb{C}^{2n}/(\mathbb{C}^2 \times S_n)$ 上の primary フィールドが得られる。
• $z$ 依存性のみに制限することで、$\mathbb{C}^n/S_n$ 上の正則関数として extremal primary を構成し、これは特別なクラスの演算子に対応する。
• オルビフォールド上の正則関数の環の Hilbert 級数を計算し、対称群表現に関連する palindromic 構造が明らかになる。
• Hilbert 級数の分子から生成子と関係（syzygy）を同定し、7つの生成子と3次での6つの関係について明示的な表現を得る。
• 演算子スペクトルの表現内容を記述するために、群代数 $\mathbb{C}(S_n) \otimes \mathbb{C}(S_n) \otimes \mathbb{C}(S_k) \otimes \mathbb{C}(S_l)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由 CFT4 における extremal primary フィールドは、対称オルビフォールド上の正則関数を用いてどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 extremal primary 演算子の環の代数的構造は何か？ そして、その背後にあるオルビフォールドの幾何学的性質とはどのように関係するか？
• RQ3 オルビフォールド $\mathbb{C}^{2n}/(\mathbb{C}^2 \times S_n)$ 上の正則関数の Hilbert 級数が palindromic 性質を示すのはなぜか？
• RQ4 生成子間の関係（syzygy）は Hilbert 級数の分子にどのように現れ、それらの物理的および代数的意義は何か？
• RQ5 対称群表現は、自由 CFT4 における extremal primary のスペクトルをどのように整理するか？

主な発見

• 自由 CFT4 における extremal primary フィールドは、Calabi-Yau 空間であるオルビフォールド $\mathbb{C}^{2n}/(\mathbb{C}^2 \times S_n)$ 上の正則多項式関数として構成される。
• このオルビフォールド上の正則関数の環は、Gorenstein かつ Calabi-Yau 環であり、対称群表現論を用いて palindromic Hilbert 級数であることが証明される。
• スカラー3つの場合の Hilbert 級数 $Z_3(s,x,y)$ の分子には、7つの生成子の間の6つの関係が符号化されており、さらに5つの項が関係の関係（syzygy）を符号化している。
• 生成子 $G_1, \dots, G_7$ は、$z_{ij}, w_{ij}$ に関する対称多項式として明示的に特定され、Hilbert 級数の単項式に対応する次数を持つ。
• 関係には $\chi_1 = 3G_3G_4 - 2G_2G_5 + G_1G_6 = 0$ および $\chi_6 = G_2^7 - G_1G_2^5G_3 + \frac{1}{9}G_2^4G_5G_6 - G_2^4G_4G_7 = 0$ が含まれ、それぞれ次数 $s^5x^{5/2}\sqrt{y}$ および $s^{14}x^7$ を持つ。
• syzygy 関係として $4\chi_5G_2 + \chi_4G_3 = 0$ が明示的に導出され、$Z_3(s,x,y)$ の分子の正の項と一致する。