[論文レビュー] From Matrix Models and quantum fields to Hurwitz space and the absolute Galois group

Robert de Mello Koch, Sanjaye Ramgoolam|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

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ひとこと要約

本稿は、ヘルミート型1行列模型における相関関数と、3つの分岐点を持つリーマン面からリーマン球面への正則写像を分類する3つの置換の組の数え上げ問題との間の直接的な対応を確立する。リーマンの存在定理とベリの定理を用いて、これらの写像が代数的数体上に定義されることを示し、絶対ガロア群がフェยマン図の置換の組を通じて作用することを示す。これにより、行列模型がグロテンディークのデッサン・ダンジェに結びつき、$ar{\mathbb{Q}}$ 上でのストリング理論的実現が得られる。主な貢献は、行列模型の相関関数とガロア不変構造を持つヒルツェル空間との間の組合せ的・幾何学的双対性である。

ABSTRACT

We show that correlators of the hermitian one-Matrix model with a general potential can be mapped to the counting of certain triples of permutations and hence to counting of holomorphic maps from world-sheet to sphere target with three branch points on the target. This allows the use of old matrix model results to derive new explicit formulae for a class of Hurwitz numbers. Holomorphic maps with three branch points are related, by Belyi's theorem, to curves and maps defined over algebraic numbers $\bmQ$. This shows that the string theory dual of the one-matrix model at generic couplings has worldsheets defined over the algebraic numbers and a target space $ \mP^1 (\bmQ)$. The absolute Galois group $ Gal (\bmQ / \mQ) $ acts on the Feynman diagrams of the 1-matrix model, which are related to Grothendieck's Dessins d'Enfants. Correlators of multi-matrix models are mapped to the counting of triples of permutations subject to equivalences defined by subgroups of the permutation groups. This is related to colorings of the edges of the Grothendieck Dessins. The colored-edge Dessins are useful as a tool for describing some known invariants of the $ Gal (\bmQ / \mQ) $ action on Grothendieck Dessins and for defining new invariants.

研究の動機と目的

• 行列模型の相関関数と置換の組の組み合わせ的数え上げとの間の明確な写像を確立すること。
• 1行列模型におけるワールドシート位相がベリの定理を介して$ \bar{\mathbb{Q}}$ 上に定義されることを示すこと。
• 絶対ガロア群$Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ が行列模型のフェイマン図にどのように作用するかを示すこと。
• 色付き辺を持つデッサンと部分群不変量を用いて、多行列模型にこの枠組みを一般化すること。
• 辺に色を付けたリボングラフを用いて、ガロア作用の新たな組合せ的不変量を構成すること。

提案手法

• リーマンの存在定理を用いて、1行列模型の相関関数を、$\sigma_0\sigma_1\sigma_\infty = 1$ を満たす置換の組$\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \in S_d$ の同値類に写像する。
• ベリの定理を適用して、このような組が3つの分岐点を持つリーマン面から$\mathbb{P}^1$ への正則写像を定義することを解釈し、したがって代数的数体上に定義されることを示す。
• ベリの写像における区間$[0,1]$ の逆像をとることで、これらの写像をグロテンディークのデッサン・ダンジェとして表現する。0と1の逆像にそれぞれ黒と白の頂点を割り当てる。
• ウィックの定理を用いて、ガウス型および摂動付き行列模型における相関関数を、縮約の和として計算し、それらを置換の組に写像する。
• 多行列模型へ一般化する際、デッサンの辺に色を導入する。色は異なる行列型に対応し、$S_{2n}$ の部分群による同値関係を定義する。
• ヒルツェル空間上に色付きデッサンの層を構成し、多行列模型の観測量とそのガロア不変量を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1行列模型の相関関数を、置換の組と正則写像へ体系的に写像する方法は何か？
• RQ2 1行列模型のストリング理論的双対における、ターゲット空間とワールドシート幾何の算術的性質は何か？
• RQ3 絶対ガロア群$Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ は、行列模型のフェイマン図にどのように作用するか？
• RQ4 多行列模型における色付き辺を持つデッサンから、ガロア作用の新たな不変量をどのように抽出できるか？
• RQ5 多トレース演算子は、多行列模型における部分群不変置換構造とどのように関係するか？

主な発見

• 一般のポテンシャルを持つ1行列模型の相関関数は、リーマンの存在定理を介して、$\sigma_0\sigma_1\sigma_\infty = 1$ を満たす置換の組$\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty$ の同値類に写像される。
• 一般の結合定数における1行列模型のストリング理論的双対では、ベリの定理により、ワールドシートが$\bar{\mathbb{Q}}$ 上に定義され、ターゲット空間が$\mathbb{P}^1(\bar{\mathbb{Q}})$ である。
• 絶対ガロア群$Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ は、置換の組と関連するデッサン・ダンジェへの作用を通じて、行列模型のフェイマン図に作用する。
• 色付き辺を持つデッサンは、グロテンディークのデッサンに於けるガロア作用の既知および新たな不変量を記述するための新しい組合せ的枠組みを提供する。
• 多行列模型の相関関数は、$S_{2n}$ の部分群によって定義される同値関係を満たす置換の組に写像され、1行列模型の一般化となる。
• この枠組みにより、行列模型における相関関数の計算を通じて、ヒルツェル数のクラスに対する明示的公式が得られる。