[論文レビュー] Holonomy and (stated) skein algebras in combinatorial quantization

Matthieu Faitg|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数 $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ の組み合わせ的量子化枠組みにおいて、テンソル値の割り当てを用いて、ねじれやリンク不変量を一般化するホロノミー写像を導入する。また、境界辺が1つのコンパクトな向き付け可能表面の skein 環が $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(τ\mathfrak{sl}_2))$ に同型であることを示し、真空表現の幾何的実現を提供するとともに、skein 理論と量子化キャラクター多様体を統合する。

ABSTRACT

The algebra $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ was introduced by Alekseev-Grosse-Schomerus and Buffenoir-Roche and quantizes the character variety of the Riemann surface $Σ_{g,n}\!\setminus\! D$ ($D$ is an open disk). In this article we define a holonomy map in that quantized setting, which associates a tensor with components in $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ to tangles in $(Σ_{g,n}\!\setminus\!D) imes [0,1]$, generalizing previous works of Buffenoir-Roche and Bullock-Frohman-Kania-Bartoszynska. We show that holonomy behaves well for the stack product and the action of the mapping class group; then we specialize this notion to links in order to define a generalized Wilson loop map. Thanks to the holonomy map, we give a geometric interpretation of the vacuum representation of $\mathcal{L}_{g,0}(H)$ on $\mathcal{L}_{0,g}(H)$. Finally, the general results are applied to the case $H=U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2)$ in relation to skein theory and the most important consequence is that the stated skein algebra of a compact oriented surface with just one boundary edge is isomorphic to $\mathcal{L}_{g,n}\big( U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2) \big)$. Throughout the paper we use a graphical calculus for tensors with coefficients in $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ which makes the computations and definitions very intuitive.

研究の動機と目的

• 表面 $\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 内のねじれに対して、$\mathcal{L}_{g,n}(H)$ 内のテンソルを割り当てるホロノミー写像を定義し、以前の構成を一般化すること。
• このホロノミー写像がスタック積および写像類群の作用と整合することを示すこと。
• ホロノミーをリンクに特化し、量子化された設定における一般化されたウィルソンループ写像を定義すること。
• $\mathcal{L}_{g,0}(H)$ の真空表現を $\mathcal{L}_{0,g}(H)$ 上にホロノミー構成を用いて幾何的に解釈すること。
• 境界辺が1つのコンパクトな向き付け可能表面の記述的 skein 環と $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2))$ の間の同型を確立すること。

提案手法

• ホロノミー写像は、$\mathcal{L}_{g,n}(H)$ の係数をもつテンソルの図式的計算を用いて構成され、直感的な計算と定義を可能にする。
• この枠組みは、アレクセエフ＝グロッセ＝ショーメルスおよびバッフェヌアール＝ローヴェが導入した、穴あき表面のキャラクター多様体の量子化に用いられる $\mathcal{L}_{g,n}(H)$ の代数的構造を活用する。
• ねじれの連結に関する整合性を検証することで、ホロノミーがスタック積と整合することを示す。
• 表面の自己同型における等変性を示すことにより、写像類群作用が保たれることを証明する。
• ホロノミーをリンクに制限することでウィルソンループ写像を定義し、量子的トレースに類似した不変量が得られることを示す。
• 主な同型は、境界辺が1つの表面の記述的 skein 環が $\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2))$ と同じ関係を満たすことを示すことによって証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 内のねじれに対して、$\mathcal{L}_{g,n}(H)$ の組み合わせ的量子化設定においてホロノミー写像を定義できるか？
• RQ2 ホロノミー写像は、スタック積および表面上の写像類群作用を尊重するか？
• RQ3 ホロノミー構成は、量子化された設定におけるリンクに対して一般化されたウィルソンループ写像を導出できるか？
• RQ4 ホロノミー写像を用いて、$\mathcal{L}_{g,0}(H)$ の真空表現を $\mathcal{L}_{0,g}(H)$ 上に幾何的に解釈できるか？
• RQ5 境界辺が1つのコンパクトな向き付け可能表面の記述的 skein 環は、$\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2))$ に同型か？

主な発見

• ホロノミー写像は適切に定義されており、スタック積および写像類群作用と整合しており、以前のねじれ不変量を一般化する。
• ホロノミー構成により、$\Sigma_{g,n} \setminus D \times [0,1]$ 内のリンクに対して一般化されたウィルソンループ写像が得られる。
• $\mathcal{L}_{g,0}(H)$ の真空表現は、ホロノミー写像を用いて幾何的に実現される。
• 境界辺が1つのコンパクトな向き付け可能表面の記述的 skein 環は、$\mathcal{L}_{g,n}(U_{q^2}(\mathfrak{sl}_2))$ に同型である。
• 代数的関係と図式的計算の詳細な比較を通じて同型が確立され、補足付録では定理4.4の完全な証明が提供されている。