[論文レビュー] Holonomy on Poisson Manifolds and the Modular Class

Viktor L. Ginzburg, Alex Golubev|ArXiv.org|Dec 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、接空間へのパスのリフトを通じて特異構造へ一般化されたシンプレクティックfoliationのホロノミーの一般化として、ポアソン多様体上の線形ホロノミーを導入する。このホロノミーは余接バンドルへのパスのリフト（余接パス）を用いて定義され、そのホロノミーの行列式の対数が、このようなリフトに沿ったモジュラーベクトル場の積分に等しいことを確立し、ホロノミーを直接的にモジュラクラスに関連付ける。さらに、局所的にユニモジュラーなポアソン多様体に対して、モジュラクラスがモライト同値関係のもとで不変であることを証明する。

ABSTRACT

We introduce linear holonomy on Poisson manifolds. The linear holonomy of a Poisson structure generalizes the linearized holonomy on a regular symplectic foliation. However, for singular Poisson structures the linear holonomy is defined for the lifts of tangential path to the cotangent bundle (cotangent paths). The linear holonomy is closely related to the modular class studied by A. Weinstein. Namely, the logarithm of the determinant of the linear holonomy is equal to the integral of the modular vector field along such a lift. This assertion relies on the notion of the integral of a vector field along a cotangent path on a Poisson manifold, which is also introduced in the paper. In the second part of the paper we prove that for locally unimodular Poisson manifolds the modular class is an invariant of Morita equivalence.

研究の動機と目的

• 正則なシンプレクティックfoliationからの線形ホロノミーの概念を特異なポアソン多様体へ一般化すること。
• 接ベクトル場のパスの余接バンドルへのリフト（余接パス）を用いて、新たなホロノミー不変量を定義すること。
• このホロノミーとポアソン多様体のモジュラクラスとの明確な関係を確立すること。
• 局所的にユニモジュラーなポアソン多様体に対して、モジュラクラスがモライト同値関係のもとで不変であることを証明すること。
• ポアソン多様体上でのベクトル場の余接パスに沿った積分の概念を導入し、形式化すること。

提案手法

• 接ベクトル場のパスの余接バンドルへのリフトを用いて、ポアソン多様体上の線形ホロノミーを定義し、これにより余接パスを形成する。
• ベクトル場を余接パスに沿って積分する概念を導入し、ホロノミーとモジュラクラスを結びつけるための主要な技術的道具を提供する。
• 余接パスのリフトを用いて、ポアソン構造に適合した余接バンドル上の接続に類似した構造を定義する。
• 線形ホロノミー写像の行列式を計算し、その対数がモジュラーベクトル場の積分に等しいことを関係づける。
• 局所的にユニモジュラーなポアソン多様体に対して理論を適用し、近傍でモジュラクラスが消えることを活用する。
• モライト同値関係の理論を用いて、モジュラクラスがポアソン構造の同値関係のもとで保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ホロノミーは、正則なシンプレクティックfoliationから特異なポアソン多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 ポアソン多様体の線形ホロノミーとそのモジュラクラスとの明確な関係は何か？
• RQ3 ポアソン多様体上でのベクトル場を余接パスに沿ってどのように積分するか定義できるか？
• RQ4 局所的にユニモジュラーなポアソン多様体に対して、モジュラクラスはモライト同値関係のもとで不変か？
• RQ5 余接パスのリフトは、ホロノミーとモジュラーベクトル場を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 線形ホロノミー写像の行列式の対数は、余接パスに沿ったモジュラーベクトル場の積分に等しい。
• ベクトル場を余接パスに沿って積分するという概念は、正しく定義されており、ホロノミーとモジュラクラスの対応関係の中心的役割を果たす。
• 局所的にユニモジュラーなポアソン多様体に対して、モジュラクラスはモライト同値関係のもとで不変である。
• 線形ホロノミーの構成は、特異なポアソン構造への正則なシンプレクティックfoliationにおける古典的線形化ホロノミーの一般化を実現する。
• モジュラクラスが局所的にユニモジュラーな場合にモライト不変であることが示され、ユニモジュラーの場合に既知であった不変性を拡張する。
• ホロノミー写像は余接バンドルへのリフトを介して定義されるため、特異なポアソン幾何学に適している。