[論文レビュー] Hom-Lie-Yamaguti Superalgebras

Donatien Gaparayi, Sylvain Attan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Hom-型一般化としてのHom-Lie-Yamaguti超代数を導入し、Hom-Lie超代数とHom-Lie超三重系を統合する。また、乗法的Hom-Lie-Yamaguti超代数の圏が自己準同型によるねじれ作用および$n^{\text{th}}$-導来構成に関して閉じていることを確立し、二項・三項のHom超代数理論へ導来代数の理論を拡張する。

ABSTRACT

(Multiplicative) Hom-Lie-Yamaguti superalgebras which generalize Hom-Lie supertriple systems (and subsequently ternary multiplicative Hom-Nambu superalgebras) and Hom-Lie superalgebras in the same way as Lie-Yamaguti superalgebras [Frac] generalize Lie supertriple systems and Lie superalgebras are defined. We show that the category of (multiplicative) Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is closed under twisting by self-morphisms. Construction of some examples of Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is given. The notion of an $n^{th}-$derived (binary) Hom-superalgebras is extended to the one of an $n^{th}-$derived binary-ternary Hom-superalgebras and it is shown that the category of Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is closed under the process of taking $n^{th}-$ derived Hom-superalgebras.

研究の動機と目的

• Hom-Lie超代数およびHom-Lie超三重系の一般化としてHom-Lie-Yamaguti超代数を定義・形式化すること。
• $(n^{\text{th}})$-導来（二項）Hom超代数の概念を二項・三項の状況へ拡張し、$n^{\text{th}}$-導来二項・三項Hom超代数を導入すること。
• 乗法的Hom-Lie-Yamaguti超代数の圏が、$n^{\text{th}}$-導来代数の操作に関して閉じていることを証明すること。
• 自己準同型によるねじれ作用が、Hom-Lie-Yamaguti超代数構造を保存することを示すこと。
• 特別な場合として、$n^{\text{th}}$-導来構成が、二項演算が消えるとHom-Lie超三重系、三項演算が消えるとHom-Lie超代数を回復することを示すこと。

提案手法

• Hom-Lie-Yamaguti超代数を、$\mathbb{Z}_2$-符号付きベクトル空間$L = L_0 \oplus L_1$に二項超演算$*$および三項超演算$\{, ,\}$を備えたものとして定義し、符号付き反対称性、超ジャコビ恒等式、一般化されたライブニッツ型恒等式を満たすものとする。
• 元のLie-Yamaguti超代数の恒等式を変形するためのねじれ写像$\alpha$を線形自己写像として導入し、$\alpha = \text{id}$のとき元の構造が回復されることを確認する。
• $\alpha$の繰り返し適用により、$n^{\text{th}}$-導来Hom超代数$A^{(n)}$を構成し、新しい演算$[x,y]^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}([x,y])$および$\{x,y,z\}^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}(\{x,y,z\})$を定義する。
• 数学的帰納法と$\alpha$の乗法性を用いて、$n^{\text{th}}$-導来代数$A^{(n)}$がHom-Lie-Yamaguti超代数のすべての定義的恒等式を満たすことを検証する。
• $\alpha$の乗法性を用いて、元の代数$A_\alpha$から$A^{(n)}$へ恒等式を移行させ、導来構成に関しての閉じ性を保証する。
• 導来代数における超交換子括弧および三項演算を適用し、$(SHLY6)$、$(SHLY7)$、$(SHLY8)$のような恒等式が$\alpha$-ねじれ作用および反復により保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hom-型一般化としてのLie-Yamaguti超代数を、Hom-Lie超代数とHom-Lie超三重系を統合するように体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 乗法的Hom-Lie-Yamaguti超代数の圏は、自己準同型によるねじれ作用に関して閉じているか？
• RQ3 $n^{\text{th}}$-導来（二項）Hom超代数の概念を二項・三項の設定へ拡張できるか？また、その構成はHom-Lie-Yamaguti超代数構造を保存するか？
• RQ4 二項演算または三項演算が消える場合、$n^{\text{th}}$-導来代数はどのような状態になるか？また、Hom-Lie超三重系やHom-Lie超代数といった既知の構造を回復するか？
• RQ5 $n^{\text{th}}$-導来構成が、Hom-Lie-Yamaguti超代数の定義的恒等式を保存するための条件は何か？

主な発見

• 乗法的Hom-Lie-Yamaguti超代数の圈权は、自己準同型によるねじれ作用に関して閉じている。つまり、自己準同型$\alpha$をHom-Lie-Yamaguti超代数に作用させると、再びHom-Lie-Yamaguti超代数が得られる。
• $n^{\text{th}}$-導来構成は、Hom-Lie-Yamaguti超代数構造を保存する。$A_\alpha$が乗法的Hom-Lie-Yamaguti超代数であれば、その$n^{\text{th}}$-導来代数$A^{(n)}$もまたHom-Lie-Yamaguti超代数である。
• 二項演算$*$が$A_\alpha$で消える場合、$n^{\text{th}}$-導来代数はHom-Lie超三重系となり、したがって三項Hom-Nambu超代数でもある。
• 三項演算$\{, ,\}$が$A_\alpha$で消える場合、$n^{\text{th}}$-導来代数はHom-Lie超代数に簡約される。
• $(SHLY6)$、$(SHLY7)$、$(SHLY8)$のような恒等式の検証は、$\alpha$の乗法性および$\alpha$-ねじれ作用による$A_\alpha$からの恒等式移行に依存する。
• $n^{\text{th}}$-導来代数$A^{(n)}$は、$[x,y]^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}([x,y])$および$\{x,y,z\}^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}(\{x,y,z\})$により構成され、元の代数的構造と整合性を持つことが保証される。