[論文レビュー] A twisted generalization of Lie-Yamaguti algebras

Donatien Gaparayi, Issa A. Nourou|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Lie-Yamaguti代数のねじれ一般化として、Hom-Lie-Yamaguti代数を導入し、Hom-Lie代数、Hom-Lie三重系、Hom-Nambu代数を統合する。Hom-Lie-Yamaguti代数の圏が自己準同型によるねじれに関して閉じていることを証明し、三重演算子が特定の方法で二重演算子から定義される場合、構造がHom-Malcev代数となることを示し、古典的なLie-Yamaguti-Malcev関係のHom版を確立する。

ABSTRACT

A twisted generalization of Lie-Yamaguti algebras, called Hom-Lie-Yamaguti algebras, is defined. Hom-Lie-Yamaguti algebras generalize Hom-Lie triple systems (and susequently ternary Hom-Nambu algebras) and Hom-Lie algebras in the same way as Lie-Yamaguti algebras generalize Lie triple systems and Lie algebras. It is shown that the category of Hom-Lie-Yamaguti algebras is closed under twisting by self-morphisms. Constructions of Hom-Lie-Yamaguti algebras from classical Lie-Yamaguti algebras and Malcev algebras are given. It is observed that, when the ternary operation of a Hom-Lie-Yamaguti algebra expresses through its binary one in a specific way, then such a Hom-Lie-Yamaguti algebra is a Hom-Malcev algebra.

研究の動機と目的

• Lie-Yamaguti代数のねじれ一般化、すなわちHom-Lie-Yamaguti代数を定義するため、定義的恒等式にねじれ写像を導入すること。
• Hom-Lie-Yamaguti代数の圏が自己準同型によるねじれに関して閉じていることを確立すること。
• 自己準同型によるねじれを用いて、古典的Lie-Yamaguti代数およびMalcev代数からHom-Lie-Yamaguti代数を構成すること。
• Hom-Lie-Yamaguti代数とHom-Malcev代数の関係を、特に三重演算子が二重演算子によって表現される場合に探求すること。
• Malcev代数とLie-Yamaguti代数の間の既知の古典的関係を、Hom代数の文脈に拡張すること。

提案手法

• 自己写像 α を用いてLie-Yamaguti代数の公理をねじることによりHom-Lie-Yamaguti代数を定義し、α が恒等写像のとき元のLie-Yamaguti代数が回復されることを保証する。
• D. Yauの一般的構成法を用いて、自己準同型を介して古典的Lie-Yamaguti代数およびMalcev代数からHom-Lie-Yamaguti代数を生成する。
• 三重演算子の特定の表現を導入する：{x,y,z} = -Jα(x,y,z) + 2[[x,y],α(z)]、ここで Jα は [[x,y],α(z)] の巡回和である。
• この表現が成り立つ場合、Hom-Lie-Yamaguti代数がHom-Malcev恒等式を満たし、したがってHom-Malcev代数となることを証明する。
• Hom-Malcev恒等式が二重および三重演算子を用いて表現された三重適合条件に等価であることを検証する。
• α の乗法性と巡回和の恒等式を用いて、Hom-Malcev恒等式と三重適合条件との間の同値性を導出し、検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hom-Lie-Yamaguti代数がいつHom-Malcev代数に還元されるか。
• RQ2 自己準同型を用いて、古典的Lie-Yamaguti代数およびMalcev代数からHom-Lie-Yamaguti代数を体系的にどのように構成できるか。
• RQ3 構造がHom-Malcev代数となった場合、Hom-Lie-Yamaguti代数における三重演算子と二重演算子の正確な関係は何か。
• RQ4 三重演算子が特定の方法で二重演算子から定義される場合、Hom-Malcev恒等式が三重適合条件に等価であるか。
• RQ5 Hom-Lie-Yamaguti代数の圈权が自己準同型によるねじれ手続きに関して閉じていることを示せるか。

主な発見

• Hom-Lie-Yamaguti代数の圈权は、自己準同型によるねじれに関して閉じており、(V,*,{,,},α) がHom-Lie-Yamaguti代数であり、β が自己準同型であるとき、β を用いて新たなHom-Lie-Yamaguti代数を構成できる。
• 任意の古典的Lie-Yamaguti代数（またはMalcev代数）から、自己準同型 β を用いて演算をねじることで、新しい代数 (A,~,{,,},β) を構成できる。
• Hom-Lie-Yamaguti代数の三重演算子が {x,y,z} = -Jα(x,y,z) + 2[[x,y],α(z)] と定義される場合、代数はHom-Malcev恒等式を満たし、したがってHom-Malcev代数となる。
• Hom-Malcev恒等式は三重適合条件 [α(x),α(y),[u,v]] = [[{x,y,u},α²(v)] + [α²(u),{x,y,v}]] に等価であり、Hom-Malcev恒等式が三重演算子を用いて再表現できることを示している。
• この構成により、古典的結果のHom版が確立される：三重演算子が (4.1) のように二重演算子から定義されるHom-Malcev代数は、Hom-Lie-Yamaguti代数である。
• Hom-Malcev恒等式と三重適合条件 (4.5) の同値性は、指定された演算表現のもとで、Hom-Malcev代数構造がHom-Lie-Yamaguti枠組みによって完全に記述されることを確認している。