[論文レビュー] Homeomorphisms, homotopy equivalences and chain complexes

Spiros Adams-Florou|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、制御的・有界的位相幾何学を用いて、有限次元かつ局所的に有限な単体複体同士のホモトピー同値がホメオモルフィズムにホモトープであるための、明確な代数的および位相的基準を確立する。主な結果は、PL ポアンカレ双対性空間がホモロジー多様体であることと、その空間と $\mathbb{R}$ の積がその空間の開コーン上での有界ポアンカレ双対性を満たすことの同値性を示しており、代数的単体分割と制御的チェーン複体を通じてホモトピー論と幾何位相論を結びつける。

ABSTRACT

This thesis concerns the relationship between bounded and controlled topology and how these can be used to recognise which homotopy equivalences of reasonable topological spaces are homotopic to homeomorphisms. Let $f:X o Y$ be a simplicial map of finite-dimensional locally finite simplicial complexes. We prove that $f$ has contractible point inverses if and only if it is an $ε$-controlled homotopy equivalences for all $ε>0$, if and only if $f imes\mathrm{id}:X imes\mathbb{R} o Y imes\mathbb{R}$ is a homotopy equivalence bounded over the open cone $O(Y^+)$ of Pedersen and Weibel. This approach can be generalised to algebra using geometric categories: the $X$-controlled categories $\mathbb{A}^*(X)$, $\mathbb{A}_*(X)$ of Ranicki and Weiss together with the bounded categories $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$ of Pedersen and Weibel. Analogous to the barycentric subdivision of a simplicial complex, we define the algebraic subdivision of a chain complex over that simplicial complex. The main theorem of the thesis is that a chain complex $C$ is chain contractible in $\mathbb{A}(X)$ if and only if $ extit{"}C\otimes\mathbb{Z} extit{"}\in\mathbb{A}(X imes\mathbb{R})$ is boundedly chain contractible when measured in $O(X^+)$ for a functor $ extit{"}-\otimes\mathbb{Z} extit{"}$ defined appropriately using algebraic subdivision and for $\mathbb{A}=\mathbb{A}^*$ or $\mathbb{A}_*$. We prove a squeezing result: a chain complex with a small enough chain contraction has arbitrarily small chain contractions. We conclude with consequences for Poincaré Duality spaces. Squeezing tells us that a $PL$ Poincaré duality space with small enough Poincaré duality is a homology manifold and the main theorem tells us that a $PL$ Poincaré duality space $X$ is a homology manifold if and only if $X imes\mathbb{R}$ has bounded Poincaré duality when measured in the open cone $O(X^+)$.

研究の動機と目的

• 有限次元かつ局所的に有限な単体複体間のホモトピー同値がホメオモルフィズムにホモトープである条件を特定すること。
• 単体写像の可縮な纤维と、その空間の開コーン上での有界ホモトピー同値との間の対応関係を確立すること。
• X-制御的および有界的圏を用いて、制御的・有界的位相幾何学を代数的設定に一般化すること。
• PL ポアンカレ双対性空間のホモトピー型の中にホモロジー多様体を同定する応用を提供すること。
• 有界性を保ちつつ、チェーンコネクションの圧縮を可能にする代数的バーチェントリック単体分割関手を構成すること。

提案手法

• 可縮な点纤维と開コーン $O(Y^+)$ 上での有界ホモトピー同値との関係を確立するため、基本的 $\epsilon$-単体分割セルレーション $X'_{\epsilon}$ を導入する。
• ランイキとウイスの $X$-制御的圏 $\mathbb{A}^*(X)$ および $\mathbb{A}_*(X)$ と、ペルデンとヴァイベルの有界圏 $\mathcal{C}_M(\mathbb{A})$ を用いる。
• 単体複体上のチェーン複体に対して、位相的バーチェントリック単体分割を一般化した代数的バーチェントリック単体分割関手を定義する。
• 圧縮定理を適用：十分に小さなチェーンコネクションを持つチェーン複体は、任意に小さなチェーンコネクションをもつ。
• 代数的単体分割を用いて、$X$ 上のチェーン複体と $X \times \mathbb{R}$ 上のチェーン複体との間の関手 $"-\otimes\mathbb{Z}"$ を構成する。
• 分割定理を適用して、$X \times \mathbb{R}$ 上の有界チェーン同値を、$X$ 上での $\epsilon$-制御同値に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可縮な点纤维を持つ単体写像は、いつホメオモルフィズムにホモトープか？
• RQ2 制御的・有界的位相幾何学を用いて、ホモトピー同値がホメオモルフィズムであることを検出する方法は何か？
• RQ3 単体複体上のチェーン複体に対するバーチェントリック単体分割の代数的アナロジーは何か？
• RQ4 $X \times \mathbb{R}$ 上の開コーンにおける有界ポアンカレ双対性は、$X$ がホモロジー多様体かどうかを検出できるか？
• RQ5 代数的単体分割は、チェーンコネクションの圧縮を任意の小さな境界にまで可能にするか？

主な発見

• 単体写像 $f: X \to Y$ が可縮な点纤维を持つことと、$f \times \mathrm{id}: X \times \mathbb{R} \to Y \times \mathbb{R}$ が開コーン $O(Y^+)$ 上で有界ホモトピー同値であることとは同値である。
• チェーン複体 $C$ が $\mathbb{A}^*(X)$ や $\mathbb{A}_*(X)$ でチェーンコネクション可能であることと、代数的単体分割関手を用いて $C \otimes \mathbb{Z}$ が $O(X^+)$ 上で有界にチェーンコネクション可能であることとは同値である。
• 圧縮定理により、十分に小さなチェーンコネクションを持つ任意のチェーン複体は、任意に小さなチェーンコネクションをもつことが保証され、有界性の制御が可能になる。
• PL ポアンカレ双対性空間 $X$ がホモロジー多様体であることと、$X \times \mathbb{R}$ が $O(X^+)$ 上で有界ポアンカレ双対性を満たすこととは同値である。
• 主定理により、$X \times \mathbb{R}$ が $O(X^+)$ 上で有界ポアンカレ双対性を満たすならば、$X$ はすべての $\epsilon > 0$ に対して $\epsilon$-制御ポアンカレ双対性をもつ。
• 代数的バーチェントリック単体分割関手の構成により、$X \times \mathbb{R}$ から $X$ への有界性の性質の体系的移行が可能になる。